Com sua experiência, um professor sabe que a nota de um estudante na prova final é uma variável aleatória com média 75.
a) Forneça um limite superior para a probabilidade de que a nota de um estudante exceda 85. Suponha, além disso, que o professor Saiba que a variância da nota de um estudante é igual a 25.
b) O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a nota de um estudante esteja entre 65 e 85?
c) Quantos estudantes teriam que fazer a prova para assegurar, com probabilidade mínima de 0,9, que a média da turma esteja entre ? Não use o teorema do limite central.
Passo 1
Fala galeraaa!
Vamos que vamos! ☺
Seja X o resultado do teste de uma aluna que está fazendo seu exame final e suponha que X seja uma variável aleatória com média .
(a) Pela desigualdade de Markov, um limite superior para a probabilidade de a nota de um aluno exceder 85 é de:
Além disso, suponha que o professor saiba que a variância da pontuação do teste de um aluno X é Então, usando o Corolário 5.1. do (livro didático) para temos:
(b) Pela desigualdade de Chebyshev, temos:
Portanto, como:
, temos:
.
Por outro lado:
(c) Seja n o número necessário de alunos e a média da turma:
onde é a nota do teste de aluno. Então, e, portanto:
Pela desigualdade de Chebyshev,
Portanto:
Por outro lado, é dado: