Com sua experiência, um professor sabe que a nota de um estudante na prova final é uma variável aleatória com média 75.

a) Forneça um limite superior para a probabilidade de que a nota de um estudante exceda 85. Suponha, além disso, que o professor Saiba que a variância da nota de um estudante é igual a 25.

b) O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a nota de um estudante esteja entre 65 e 85?

c) Quantos estudantes teriam que fazer a prova para assegurar, com probabilidade mínima de 0,9, que a média da turma esteja entre 75 ± 5 ? Não use o teorema do limite central.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos! ☺

Seja X o resultado do teste de uma aluna que está fazendo seu exame final e suponha que X seja uma variável aleatória com média μ = 75 .

(a) Pela desigualdade de Markov, um limite superior para a probabilidade de a nota de um aluno exceder 85 é de:

P X > 85 ≤ E X 85 = 75 85 = 15 17

Além disso, suponha que o professor saiba que a variância da pontuação do teste de um aluno X é σ 2 = 25 . Então, usando o Corolário 5.1. do (livro didático) para ▱ a = 10 , temos:

P { X > 75 + 10 ⏟ = 85 ≤ σ 2 σ 2 + 10 2 = 25 25 + 100 = 1 5 .

(b) Pela desigualdade de Chebyshev, temos:

P X - 75 ≥ 10 ≤ σ 2 10 2 = 25 100 = 1 4

Portanto, como:

P { | X - 75 | ≥ 10 } = 1 - P { | X - 75 | < 10 } , temos:

P X - 75 < 10 ≥ 1 - 1 4 = 3 4 .

Por outro lado:

P X - 75 < 10 = P - 10 < X - 75 < 10 = P 65 < X < 85 ⇒ ( * )

P 65 < X < 85 ≥ 3 4

(c) Seja n o número necessário de alunos e   X _ a média da turma:

X _ = X 1 + X 2 + ⋯ + X n n      

onde X i é a nota do teste de i t h aluno. Então, E [ X i ] = E [ X ] = μ , V a r ( X i ) = V a r ( X ) = σ 2 e, portanto:

E X _ = μ   e   V a r ( X _ ) = σ 2 n

Pela desigualdade de Chebyshev, P X _ - 75 ≥ 5 ≤ σ 2 n 5 2 = 25 25 n = 1 n .

Portanto:

P X _ - 75 < 5 ≥ 1 - 1 n   .  

Por outro lado, é dado: P X _ - 75 < 5 ≥ 0,9 ⇒ *   *

1 - 1 n ≥   0,9 ⇒   n ≥ 10

Resposta

a ) ≤ 1 5 .

b ) ≥ 3 4 .  

c ) ≥ 10 .