Explique como você poderia usar números aleatórios para aproximar ∫ 0 1 k ( x ) d x , onde k(x) é uma função arbitrária.

Dica: Se U é uniforme no intervalo (0, 1), o que é E [ k ( U ) ] ?

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Considere U ∼ U n i f ( 0,1 ) . Usando o teorema sobre a expectativa da função da variável aleatória, temos que:

E ( k ( U ) ) = ∫ R k u f U ( u ) d u = ∫ 0 1 k ( u ) d u

Por outro lado, podemos estimar a média da variável aleatória com a média da amostra. Então, pegue as variáveis ​​independentes U 1 ,   … ,   U n ∼   U e considere seus valores funcionais k U 1 ,   … ,   k ( U n ) . Portanto, podemos estimar:

E ( k ( U ) ) = 1 n ∑ i = 1 n k ( U i )

Resposta

∫ 0 1 k ( u ) d u = E ( k ( U ) ) = 1 n ∑ i = 1 n k ( U i ) .