Enunciado

Numa fábrica, colhida uma amostra de parafusos, foram obtidos os seguintes valores de diâmetro (medidas em mm):

Pede-se construir o intervalo de confiança para:

  1. o diâmetro médio real de toda a produção de parafusos, bem como para o desvio padrão desse diâmetro, ao nível de significância de 5%.

Passo 1

Oi galerinha, estou animada pra fazer este exercício com vocês. Vem comigo!

Vamos relembrar que o intervalo de confiança é um intervalo em torno da estimativa por ponto, de modo que esse intervalo tenha uma probabilidade conhecida (que é designada por 1 - α ) de conter o verdadeiro valor do parâmetro. O valor da probabilidade ( 1 - α ), que usualmente assume os valores 90%, 95%, 98%, etc., é denominado nível de confiança e o valor α é chamado nível de significância.

Para o intervalo de confiança da média populacional ( μ ), quando a variância populacional ( σ 2 ) é desconhecida, temos o seguinte:

X - - t α / 2 ∙ S n ≤ μ ≤ X - + t α / 2 ∙ S n

Onde a variável t possui ( n - 1 ) graus de liberdade.

Já para o intervalo de confiança para a variância ( σ 2 ) de uma população normal, temos o seguinte:

S 2 ∙ ( n - 1 ) χ s u p 2 ≤ σ 2 ≤ S 2 ∙ ( n - 1 ) χ i n f 2

Onde χ i n f 2 = χ 1 2 = χ ( 1 - α / 2 ) 2 χ s u p 2 = χ 2 2 = χ α / 2 2               , ambos para ϕ = n - 1 graus de liberdade.

Então vamos lá, primeiramente precisamos calcular a média e o desvio padrão amostral, para isso, vamos utilizar as seguintes equações:

Então:

X - = 394 30 = 13,13

S = 59,47 30 - 1 = 1,43

Passo 2

Agora iremos calcular o intervalo de confiança para a média. Para um nível de significância de 5% com ϕ = 30 - 1 = 29 :

α = 0,05 → t = 2,045

Sendo assim, para o nível de confiança de 95%:

μ = 13,13 ± 2,045 ∙ 1,43 30

12,60 ≤ μ ≤ 13,66   m m

Passo 3

Para descobrirmos o intervalo de confiança do desvio padrão, precisamos:

  • ϕ = 29 ;
  • α / 2 = 0,025 limite superior;
  • 1 - α / 2 = 0,975 limite inferior.

χ i n f 2 = 16,047

χ s u p 2 = 45,722

Sendo assim, para o nível de confiança de 95%:

1,43 2 ∙ ( 30 - 1 ) 45,722 ≤ σ ≤ 1,43 2 ∙ ( 30 - 1 ) 16,047

1,14 ≤ σ ≤ 1,92

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

  • 12,60 ≤ μ ≤ 13,66   m m ;
  • 1,14 ≤ σ ≤ 1,93   m m .

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