Um fabricante de fornos de micro-ondas anuncia que menos de 10% de seus micro-ondas precisam de conserto durante os primeiros 5 anos de uso. Em uma amostra aleatória de 57 micro-ondas que têm 5 anos, 13% precisaram de conserto. Para α = 0,05 , você pode concordar com a afirmação do fabricante? (Adaptado de: Consumer Reports.)

Para este teste, faça o seguinte:

  1. Identifique a afirmação e formule H 0 e H a .
  2. Determine se o teste de hipótese é unilateral à esquerda, unilateral à direita ou bilateral e se deve usar um teste z , um teste t ou um teste qui-quadrado. Explique seu raciocínio.
  3. Escolha uma das opções. Se for conveniente, use tecnologia.
  4. Opção 1: Encontre o(s) valor(es) crítico(s), identifique a(s) região(ões) de rejeição e calcule a estatística de teste padronizada apropriada.

    Opção 2: Calcule a estatística de teste padronizada apropriada e o valor p .

  5. Decida se rejeita ou não rejeita a hipótese nula.
  6. Interprete a decisão no contexto da afirmação original.

Passo 1

Oie pessoal, espero que estejam bem! Vamos resolver esse exercício juntos? Vamos lá!

Do enunciado temos que:

p = 0,10 ;

n = 57 ;

p ^ = 0,13 ;

α = 0,05 .

Primeiramente iremos verificar se a distribuição amostral de p ^ pode ser aproximada por uma distribuição normal, para isso, precisamos que n p ≥ 5 e n q ≥ 5 .

q = 1 - p = 1 - 0,10

q = 0,90

Então:

n p = 57 ∙ 0,10 = 5,7

n q = 57 ∙ 0,90 = 51,3

Ambos os produtos n p e n q são maiores que 5, sendo assim podemos usar o teste z e definir as hipóteses nula e alternativa, através da afirmação de um fabricante de fornos de micro-ondas de que “menos de 10% de seus micro-ondas precisam de conserto durante os primeiros 5 anos de uso”, logo:

H 0 : p ≥ 0,10 ;

H a : p < 0,10 (afirmação).

Como a hipótese alternativa ( H a ) contém < , então o teste é unilateral à esquerda. E utilizaremos o teste z , porque n p ≥ 5 e n q ≥ 5 .

Passo 2

Como o teste é unilateral à esquerda e o nível de significância é α = 0,05 :

Teremos que interpolar os valores, onde:

Interpolando:

z 0 - ( - 1,65 ) - 1,64 - ( - 1,65 ) = 0,05 - 0,0495 0,0505 - 0,0495

z 0 = - 1,645

O valor crítico é:

z 0 = - 1,645 .

E a região de rejeição:

z < - 1,645 .

Passo 3

Agora iremos calcular a estatística de teste padronizada pela seguinte equação:

z = p ^ - p p q n = 0,13 - 0,10 ( 0,10 ∙ 0,90 ) 57

z = 0,75

Como z = 0,75   está fora da região de rejeição, então não rejeitamos H 0 . Não há evidência suficiente, ao nível de significância de 5%, para suportar a afirmação do fabricante de que menos de 10% de seus micro-ondas precisam de conserto durante os primeiros 5 anos de uso.

Te espero para fazermos mais exercícios juntos!

Resposta

  1. H 0 : p ≥ 0,10 ;
  2. H a : p < 0,10 (afirmação).

  3. O teste é unilateral à esquerda, porque a hipótese alternativa ( H a ) contém < . Utilizaremos o teste z , porque n p ≥ 5 e n q ≥ 5 .
  4. O valor crítico é:
  5. z 0 = - 1,645 .

    E a região de rejeição:

    z < - 1,645 .

    Estatística de teste padronizada z :

    z = 0,75 .

  6. Não rejeita H 0 .
  7. Não há evidência suficiente, ao nível de significância de 5%, para suportar a afirmação do fabricante de que menos de 10% de seus micro-ondas precisam de conserto durante os primeiros 5 anos de uso.