Um filantropo escreve um número positivo x em um pedaço de papel vermelho, mostra o papel a um observador imparcial, e então o coloca sobre a mesa com a face escrita para baixo. O observador então joga uma moeda honesta. Se der cara, ele escreve o valor 2x em um pedaço de papel azul, que é então colocado sobre a mesa com a face escrita para baixo. Se der coroa, ele escreve o valor x/2 neste mesmo papel. Sem saber o valor de x ou se a moeda deu cara ou coroa, você tem a opção de virar para cima o papel vermelho ou o azul. Após fazer isso e observar o número escrito no papel, você deve escolher entre receber como prêmio aquela quantia ou a quantia (desconhecida) escrita no outro pedaço de papel. Por exemplo, se você escolher virar o papel azul e observar o valor de 100, então você pode escolher entre aceitar 100 como seu prêmio ou assumir o valor escrito no papel vermelho, que pode ser de 200 ou 501 suponha que você queira que sua recompensa esperada seja grande.
(a) Mostre que não há motivo para virar o papel vermelho primeiro, porque, se você fizer isso, então não importará o valor que você observar. Em outras palavras, mostre que será sempre melhor optar pelo papel azul.
(b) Suponha que y seja um valor não negativo fixo e considere a seguinte estratégia: vire o papel azul e, se o valor escrito for pelo menos igual a y, então aceite aquela quantia. Se for menor que y, então troque pelo papel vermelho. Suponha que represente a recompensa obtida se o filantropo escrever a quantia x e você empregar a estratégia descrita. Obtenha . Observe que é a recompensa esperada se o filantropo escrever a quantia x quando você empregar a estratégia de sempre escolher o papel azul.
Passo 1
Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Aqui vamos argumentar que não há razão para virar o papel vermelho primeiro, por que se você fizer isso, não importa o valor observado, é sempre melhor mudar para o papel azul.
Se virarmos o papel vermelho primeiro e o valor de x for observado, então o retorno esperado quando mudamos para o papel azul é:
Como , então é sempre melhor mudar para papel azul. Beleza galera?
Passo 2
Agora vamos para a letra (b). Seja uma quantidade em papel vermelho e seja uma quantidade de papel azul .
Se então a quantidade aceitável no papel azul será de pelo menos y. Portanto, o valor será . Beleza?
Já que:
Isso significa que o papel azul será aceito se seu valor for e rejeitado se for . Portanto: