A Fórmula de Covariância Condicional. A variância condicional de X e Y, dado Z, é definida como

C o v X , Y Z = [ X - E X Z ( Y - E [ Y | Z ] ) | Z ]

A – Mostre que

C o v X , Y Z = E X Y Z - E X Z E [ Y | Z ]

B – Demonstre a fórmula da covariância condicional

C o v X , Y = E C o v X , Y Z + C o v E X Z ,   E Y Z

C – Faça X = Y na letra b) e obtenha a fórmula da variância condicional.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Multiplique o lado direito para obter isso

E X - E X Z Y - E Y Z Z

Com isso, nós temos que

E [ X Y - X E Y Z - Y E X Z + E X Z E [ Y | Z ] | Z ]

Usando a linearidade da expectativa condicional para obter que a expressão acima é

igual a

E X Y Z - E X E Y Z Z - E Y E X Z Z + E [ E X Z E [ Y | Z ] | Z ]

Agora, como E [ Y | Z ] e E [ X | Z ] são valores conhecidos dados Z , temos que

E X E Y Z Z = E X Z E [ Y | Z ]

E

E Y E X Z Z = E X Z E [ Y | Z ]

O que nos dá o seguinte resultado

E E X Z E Y Z Z = E X Z E [ Y | Z ]

O que implica que a expressão é igual a

E X Y Z - E X Z E [ Y | Z ]

Portanto, já conseguimos provar o que nos foi pedido

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)