A função densidade conjunta de X e Y é dada por

f x , y = x e - x ( y + 1 ) ,     x > 0 , y > 0

(a) Determine a densidade condicional de X, dado que Y = y, e aquela de Y, dado que X = x.

(b) Determine a função densidade de Z = XY.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Primeiro de tudo, vamos encontrar PDFs marginais de X e Y . Para x > 0 , temos que

f X x = ∫ 0 ∞ f x , y   d y = ∫ 0 ∞ x e - x ( y + 1 )   d y

Resolvendo essa integral, nós temos que

f X x = [ - e - x ( y + 1 ) ] y = 0 y = ∞ = e - x

E para y > 0 , nós temos que

f Y y = ∫ 0 ∞ f x , y   d x = ∫ 0 ∞ x e - x ( y + 1 )   d x

Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes. Definindo u = x e d v = e - x ( y + 1 )   d x . Portanto

f Y y =   - x y + 1 ∙ e - x y + 1 0 ∞ + 1 y + 1 ∫ 0 ∞ e - x y + 1   d x = 1 y + 1 2

Agora, vamos resolver a densidade de X dado Y = y

F Y | X y x = f x , y f X ( x ) = x e - x ( y + 1 ) e - x = x e - x y

Passo 2

B – Usando a fórmula de convolução, para z > 0 , nós temos que

f Z z = ∮ x y = z f x , y   d x

Com isso, nós temos que

f Z z =   ∫ 0 ∞ f x , z x   d x = e - z   ∫ 0 ∞ e - x   d x = e - z

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)