A função densidade conjunta de X e Y é dada por.

f x ,   y = e - x y e - y y ,   0 < x < ∞ ,   0 < y < ∞

Calcule E [ X 2 ∣ Y = y ] .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos! ☺

A densidade conjunta de X   e   Y é dada por f ( x ,   y ) = e - z y   e - y y   o n d e   0 < x < ∞ ,   0 < y < ∞ .

Devemos calcular E [ X 2 ∣ Y = y ] .

Pela definição temos:

E Y = y = ∫ - ∞ ∞ x f y ( x ∣ y )   d x

Portanto, simplesmente segue:

E Y = y = ∫ - ∞ ∞ x 2 ⋅ f x ,   y   f Y y d x  

= ∫ 0 ∞ x 2 ⋅ e z y e - y y ∫ - ∞ ∞ f x ,   y d x d x  

= ∫ 0 ∞ x 2 ⋅ e - x y   d x

= 1 y ∫ 0 ∞ x 2 ⋅ e x y d x

= 1 y ⋅   2 y 3 = 2 y 2

Na segunda e quarta equação há integração simples.

Portanto, a resposta é E [ X 2 ∣ Y = y ] = 2 y 2 ,   y > 0 . Portanto, terminamos.

Resposta

A média exigida é igual a E [ X 2 ∣ Y = y ] = 2 y 2 } ,   y > 0 .