A função densidade de X é dada por

F x =   a + b x 2 ,         0 ≤ x ≤ 1 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Se E X = 3 / 5 , determine a e b.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós sabemos que a PDF de uma distribuição é dada da seguinte forma:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

Uma vez que, a função só é definida do intervalo de 0 a 1, vamos manipular (com um pouco de conhecimento de cálculo) a integral de forma a deixar do jeito que a distribuição nos dá, com isso

∫ - ∞ 0 0   d x +   ∫ 0 1 a + b x 2   d x + ∫ 1 ∞ 0   d x = 1

Com isso, podemos simplificar a integral

∫ 0 1 a + b x 2   d x = 1

O resultado dessa integral é igual a

a x + b x 3 3 = 1

Isso sendo de 0 a 1 para os termos do lado esquerdo, logo

a 1 + b ∙ 1 3 - a 0 - b 0 = 1

Portanto, nós obtemos a seguinte configuração

a + b 3 = 1 → a = 1 - b 3

Passo 2

Agora, vamos utilizar da esperança para encontrar os valores de a e de b , como o valor já foi dado no enunciado E X = 3 5 , as coisas ficam mais diretas, então vamos lá!!!

Nós temos que a esperança de X é dada por

E X = ∫ - ∞ ∞ x f x   d x = 3 5

“Expandindo” a integral para deixar a distribuição igual ao do enunciado, nós obtemos

∫ - ∞ 0 0   d x +   ∫ 0 1 x ( a + b x 2 )   d x + ∫ 1 ∞ 0   d x = 3 5

Logo, fazendo a propriedade distributiva na única integral que dará um valor não nulo, nós temos

∫ 0 1 a x + b x 3   d x = 3 5

Com isso, o resultado da integral será o seguinte

a x 2 2 + b x 4 4 = 3 5       d e   0   a   1

Logo

  a 1 2 + b 1 4 - a 0 - b 0 = 3 5

Portanto, nós temos que

a 2 + b 4 = 3 5

Passo 3

Chegamos em um sisteminha de equações, nós temos

1 2 1 - b 3 + b 4 = 3 5

Desenvolvendo o produto, nós temos

- b 6 + b 4 = 3 5 - 1 2

Que dará exatamente

b 12 = 1 10 → b = 6 5

Substituindo o b = 6 5 na primeira equação nós obtemos o seguinte resultado

a = 1 - b 3 → a = 1 - 1 3 6 5

Com isso, nós temos que

a = 1 - 2 5 = 3 5

E encontramos os termos a e b, como pedido na questão 😊

Resposta

a ) 3 5

b ) 6 5