A função densidade de X é dada por
Se , determine a e b.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Nós sabemos que a PDF de uma distribuição é dada da seguinte forma:
Uma vez que, a função só é definida do intervalo de 0 a 1, vamos manipular (com um pouco de conhecimento de cálculo) a integral de forma a deixar do jeito que a distribuição nos dá, com isso
Com isso, podemos simplificar a integral
O resultado dessa integral é igual a
Isso sendo de 0 a 1 para os termos do lado esquerdo, logo
Portanto, nós obtemos a seguinte configuração
Passo 2
Agora, vamos utilizar da esperança para encontrar os valores de e de , como o valor já foi dado no enunciado , as coisas ficam mais diretas, então vamos lá!!!
Nós temos que a esperança de X é dada por
“Expandindo” a integral para deixar a distribuição igual ao do enunciado, nós obtemos
Logo, fazendo a propriedade distributiva na única integral que dará um valor não nulo, nós temos
Com isso, o resultado da integral será o seguinte
Logo
Portanto, nós temos que
Passo 3
Chegamos em um sisteminha de equações, nós temos
Desenvolvendo o produto, nós temos
Que dará exatamente
Substituindo o na primeira equação nós obtemos o seguinte resultado
Com isso, nós temos que
E encontramos os termos a e b, como pedido na questão 😊