A função geratriz de momentos de X é dada por M X t = e x p [ 2 e t - 2 ] , e a de Y por M Y t = 3 4 e t + 1 4 10 . Se X e Y são independentes, determine

(a) P{X + Y = 2}?

(b) P{XY = 0}?

(c) E[XY]?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Do enunciado temos que:

M X t = e x p [ 2 e t - 2 ] e M Y t = 3 4 e t + 1 4 10

(a) Assim, temos que:

P X + Y = 2 = P X = 0 , Y = 2 + P X = 1 , Y = 1 + P { X = 2 , Y = 0 }

P X + Y = 2 = P X = 0 } P { Y = 2 + P X = 1 } P { Y = 1 + P X = 2 P { Y = 0 }

P X + Y = 2 = e - 2 . 0,000386 +   2 e - 2 . 0,000 02 86 + 2 e - 2 2 ! . 0,000 0009573  

P X + Y = 2 = 0,00006024

Passo 2

(b) Vamos agora determinar P{XY = 0}:

P X Y = 0 = P X = 0 ∨ Y = 0

P X Y = 0 = P X = 0 } + P { Y = 0 - P { X = 0 , Y = 0 }

P X Y = 0 = e - 2 +   0,0000 009573 - e - 2 . 0,0000009573  

P X Y = 0 = 0 , 1353 00 83

Passo 3

(c) Vamos agora determinar E[XY]:

E [ X Y ] = E X E [ Y ]

Como X e Y são independentes, temos:

E X Y = λ ⋅ n ⋅ p

E X Y = 2.10 . 3 4 = 15  

Resposta

(a) P X + Y = 2 = 0,00006024

(b) P X Y = 0 = 0,13530083

(c) E X Y = 15