A função geratriz de probabilidade da variável aleatória discreta X d e valor inteiro não negativo com função de probabilidade p j ,   j ≥ 0 , é definida por

ϕ s = E s X = ∑ i = 0 ∞ p j s j

Seja Y uma variável aleatória geométrica com parâmetro p = 1 - s, onde 0

ϕ s = P { X < Y }

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos começar do lado direito. Usando a lei da probabilidade total, temos que

P X < Y =   ∑ i = 1 ∞ P X < Y Y = i P Y = i

Desenvolvendo o termo, nós temos que

P X < Y = ∑ i = 1 ∞ P X < i P Y = i = ∑ i = 0 ∞ P X ≤ i - 1 P Y = i

E por consequência

P X < Y = ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 0 i - 1 p j s i - 1 1 - s  

Passo 2

Agora, vamos alterar a ordem da soma. Nós temos que

∑ i = 1 ∞ ∑ j = 0 i - 1 p j s i - 1 1 - s = ∑ j = 0 ∞ p j 1 - s ∑ i = j + 1 ∞ s i - 1

Fazendo os cálculos, nós obtemos que

∑ i = j + 1 ∞ s i - 1 = s j ∑ i = 0 ∞ s i = s j 1 - s

O que implica em

∑ j = 0 ∞ p j 1 - s ∑ i = j + 1 ∞ s i - 1 = ∑ j = 0 ∞ p j s j = ϕ ( s )

Então, provamos o alegado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)