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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 40

A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada por

p 1,1 = 1 8   ;     p 1,2 = 1 4

p 2,1 = 1 8   ;       p 2,2 = 1 4

a) Calcule a função de probabilidade condicional de X dado que Y = i, i = 1,2.

(b) X e Y são independentes?

(c) Calcule P { X Y ≤ 3 } , P { X + Y > 2 } , P { X Y > 1 } .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Em primeiro lugar, suponha que nos é dado que Y = 1 . A probabilidade desse evento é igual a

P Y = 1 = p 1,1 + p 2,1 = 1 8 + 1 8 = 1 4

Portanto, temos que calcular duas probabilidades condicionais

P X = 1 Y = 1 = P X = 1 , Y = 1 P Y = 1 = p 1,1 P Y = 1 = 1 / 8 1 / 4 = 1 2

E

P X = 2 Y = 1 = P X = 2 , Y = 1 P Y = 1 = p 2,1 P Y = 1 = 1 8 1 4 = 1 2

Agora, suponha que nos é dado que Y = 2 . A probabilidade desse evento é

P Y = 2 = p 2,1 + p 2,2 = 1 4 + 1 2 = 3 4

Portanto,

P X = 1 Y = 2 = P X = 1 , Y = 2 P Y = 2 = p 1,2 P Y = 2 = 1 4 3 4 = 1 3

E

P X = 2 Y = 2 = P X = 2 , Y = 2 P Y = 2 = p 2,2 P Y = 2 = 1 2 3 4 = 2 3

Passo 2

B - Observe que

P X = 2 = p 2,1 + p 2,2 = 1 8 + 1 2 = 5 8

O que não é igual a P ( X = 2 | Y = 2 ) . Portanto, X e Y não são variáveis ​​aleatórias independentes.

Passo 3

C – Nós temos que

P X Y ≤ 3 = 1 - P X Y = 4 = 1 - P ( X = 2 ,   Y = 2 )

Fazendo uma manipulação, nós obtemos que

P X Y ≤ 3 = 1 - P X = 2 Y = 2 P ( Y = 2 )

Substituindo os valores, nós temos que

P X Y ≤ 3 = 1 - 2 3 ∙ 3 4 = 1 2

Já no outro caso, nós temos que

P X + Y > 2 = 1 - P X + Y = 2 = 1 - P X = 1 , Y = 1

Fazendo outra pequena manipulação, nós obtemos que

P X + Y > 2 = 1 - P X = 1 Y = 1 P ( Y = 1 )

Substituindo o resultado, nós temos que

P X + Y > 2 = 1 - 1 2 ∙ 1 4 = 7 8

E finalmente,

P X Y > 1 = P X > Y = P ( X = 2 , Y = 1 )

Com isso, nós temos

P X Y > 1 = P X = 2 Y = 1 P ( Y = 1 )

E substituindo os valores encontrados, chegamos a

P X Y > 1 = 1 2 ∙ 1 4 = 1 8

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)