Graduados na faculdade

Cerca de 35% dos trabalhadores americanos são graduados na faculdade. Você seleciona aleatoriamente 500 trabalhadores americanos e pergunta se eles são graduados na faculdade. Calcule a probabilidade de que o número dos que graduaram na faculdade seja (a) exatamente 175, (b) não mais que 225, (c) no máximo 200 e (d) identifique quaisquer eventos incomuns. Explique. (Fonte: U.S. Bureau of Labor Statistics.)

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

A partir do enunciado do problema, temos que:

n = 500

p = 35 % = 0 , 35

q = 1 - p = 0 , 65

Vamos analisar se esses dados satisfazem todos critérios para usarmos a aproximação de uma distribuição normal para uma aproximação binomial, onde n p ≥ 5   e   n q ≥ 5 .

Assim, temos:

n p = 5 0 0.0 , 35 = 175 ≥ 5

n q = 5 0 0.0 , 65 = 3 25 ≥ 5

Como os critérios foram satisfeitos, podemos então, usar a distribuição normal.

Determinando a média e o desvio padrão, temos:

μ = n p = 175

σ =   n p q = 5 0 0.0 , 35 . 0 , 65 = 113 , 75 = 10 , 66

Passo 2

(a) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x = 175 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( 174,5 < x < 17 5 , 5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 175,5 - 175 10 , 66 = 0 , 05  

z = x - μ σ = 17 4 , 5 - 175 10,66 = - 0 , 05  

Portanto,

P x = 175 =   P z < 0,05 - P ( z < - 0,05 )

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < 0,05 = 0,5199   e P z < - 0,05 = 0,4801 , assim:

P x = 175 = 0,5199 - 0,4801 = 0 , 0398   = 3 , 98 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

Passo 3

(b) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x < 225 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x < 225 , 5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 225 , 5 - 175 10 , 66 = 4 , 74  

Portanto,

P ( x < 225 ) = P ( x < 225,5 ) = P ( z < 4,74 )  

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < 4 , 74 = 1   assim:

P ( x < 225 ) = 1 = 100 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

Passo 4

(c) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x < 20 0 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x < 20 0,5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 20 0,5 - 175 10,66 = 2 , 39  

Portanto,

P x < 200 = P ( z < 2 , 86 )  

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < 2 , 86 = 0,9916 assim:

P x < 200 = 0 , 9916 = 99 , 16 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

(d) O evento (a) é considerado incomum, uma vez que apresenta probabilidade menor que 5%.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

a) 3,98%. Consulte o esboço acima.

b) 100%. Consulte o esboço acima.

c) 99,16%. Consulte o esboço acima.

d) Os eventos (a) é incomum, pois apresenta probabilidade menor que 5%.