Seja f x = x 1 - c o s c o s   2 x   .

  1. Faça o gráfico de f. Que tipo de descontinuidade parece ocorrer em 0?
  2. Calcule os limites laterais de f em 0. Esses valores confirmam sua resposta para a parte?

Passo 1

  1. Olá, amigo, Yuri aqui e irei estar te ajudando a resolver essa atividade de limite.
  2. A questão nos pede para primeiro construir o gráfico da função dada, e por um spoiler do enunciado analisar qual a descontinuidade existe nesta função.

    O gráfico da função é dado abaixo, ele foi construído utilizando o GeoGebra.

    A descontinuidade está presente quando nos aproximamos a 𝑥 = 0  

    , ali vemos que os valores da função são diferentes a depender por qual direção de 𝑥 = 0  

    tomamos. Temos então uma descontinuidade de ‘salto’, pois temos um ‘salto’ no valor da função a depender de qual lado nos aproximemos.

    Passo 2

Na letra b, queremos os limites laterais, ou seja, quando 𝑥    

tende a zero pela direita e pela esquerda.

Depois de calcularmos esses limites iremos analisar se o resultado faz jus ao gráfico que montamos na letra A.

Primeiro iremos modificar o termo 1 − c o s c o s   2   𝑥

utilizando de transformações trigonométricas.

Sabendo que podemos reescrever:

c o s c o s   2   𝑥 = 1 − 2   𝑥

Ao retirar da raiz, precisamos colocar em modulo:

= 𝑥 2   𝑥 = 𝑥 2 s i n s i n   𝑥  

O limite pela esquerda em 𝑥 = 0  

:

𝑥 2 s i n s i n   𝑥     = − 𝑥 2 s i n s i n   𝑥    

E por que é negativo? Pois s i n s i n   𝑥   < 0   𝑝 𝑎 𝑟 𝑎   𝑥 < 0

, e por conta do modulo devemos colocar o sinal negativo.

Continuando nossos cálculos:

Tiramos primeiro a constante do limite, após isso utilizamos uma manipulação matemática para termos dentro do nosso limite o termo: s i n s i n   𝑥   𝑥

, pois sabemos previamente que s i n s i n   𝑥   𝑥   = 1

= − 1 2 1 s i n s i n   𝑥   𝑥   = − 1 2 ∙ 1 1 = − 1 2

Passo 2

Agora iremos trabalhar com o limite pela direita:

𝑥 2 s i n s i n   𝑥     = 𝑥 2 s i n s i n   𝑥    

O sinal é positivo aqui pois s i n s i n   𝑥   > 0   𝑝 𝑎 𝑟 𝑎   𝑥 > 0

, e não existe mais a necessidade de se colocar o sinal negativo.

Veja que aqui utilizamos das mesmas manipulações que utilizamos no limite pela esquerda.

= 1 2 1 s i n s i n   𝑥   𝑥   = 1 2 ∙ 1 1 = 1 2

Como os limites à esquerda e à direita são diferentes, há uma descontinuidade por salto em 𝑥   =   0

. Isso confirma a solução da parte (a).

Resposta

  1. Descontinuidade por salto

𝑥 1 − c o s c o s   2   𝑥   ≠ 𝑥 1 − c o s c o s   2   𝑥