Seja .
- Faça o gráfico de f. Que tipo de descontinuidade parece ocorrer em 0?
- Calcule os limites laterais de f em 0. Esses valores confirmam sua resposta para a parte?
Passo 1
- Olá, amigo, Yuri aqui e irei estar te ajudando a resolver essa atividade de limite.
A questão nos pede para primeiro construir o gráfico da função dada, e por um spoiler do enunciado analisar qual a descontinuidade existe nesta função.
O gráfico da função é dado abaixo, ele foi construído utilizando o GeoGebra.
A descontinuidade está presente quando nos aproximamos a
, ali vemos que os valores da função são diferentes a depender por qual direção de
tomamos. Temos então uma descontinuidade de ‘salto’, pois temos um ‘salto’ no valor da função a depender de qual lado nos aproximemos.
Passo 2
Na letra b, queremos os limites laterais, ou seja, quando
tende a zero pela direita e pela esquerda.
Depois de calcularmos esses limites iremos analisar se o resultado faz jus ao gráfico que montamos na letra A.
Primeiro iremos modificar o termo
utilizando de transformações trigonométricas.
Sabendo que podemos reescrever:
Ao retirar da raiz, precisamos colocar em modulo:
O limite pela esquerda em
:
E por que é negativo? Pois
, e por conta do modulo devemos colocar o sinal negativo.
Continuando nossos cálculos:
Tiramos primeiro a constante do limite, após isso utilizamos uma manipulação matemática para termos dentro do nosso limite o termo:
, pois sabemos previamente que
Passo 2
Agora iremos trabalhar com o limite pela direita:
O sinal é positivo aqui pois
, e não existe mais a necessidade de se colocar o sinal negativo.
Veja que aqui utilizamos das mesmas manipulações que utilizamos no limite pela esquerda.
Como os limites à esquerda e à direita são diferentes, há uma descontinuidade por salto em
. Isso confirma a solução da parte (a).
Resposta
- Descontinuidade por salto