De um grupo de 16 candidatos, 9 homens e 7 mulheres, os cargos de presidente, vice-presidente, secretário e tesoureiro serão preenchidos. (a) De quantas maneiras diferentes os cargos podem ser preenchidos? (b) Qual é a probabilidade de que todos os quatro cargos sejam preenchidos por mulheres?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos primeiramente definir alguns conceitos aqui, a permutação é quando a ordem é importante, ela tem esse formato aqui

P r = n ! n - r !  

E a combinação é quando a ordem não importa, com isso, nós temos que

C r = n r = n ! r ! n - r !

Esse n !   sendo n ∙ n - 1 ∙ … ∙ 2 ∙ 1 . Agora vamos anotar as informações do enunciado, com isso, nós temos que

N ú m e r o   d e   c a n d i d a t o s = 16

N ú m e r o   d e   h o m e n s = 9

N ú m e r o   d e   m u l h e r e s = 7

Passo 2

A - A ordem é importante, porque uma ordem diferente levará a pessoas diferentes preenchendo os cargos (presidente, vice-presidente, secretário e tesoureiro) e assim precisa usar a definição de permutação. Precisamos selecionar 4 pessoas (para os 4 cargos) dos 16 candidatos:

n = 16

r = 4

Usando a definição de permutação com os valores definidos, nós temos que

P 4 = 16 ! 16 - 4 !

Que será igual a

P 4 = 16 ! 12 ! = 16 ∙ 15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ … ∙ 1 12 ∙ 11 ∙ … ∙ 1

Logo, temos que

P 4 = 16 ∙ 15 ∙ 14 ∙ 13 = 43680

Passo 3

B - Estamos interessados ​​no caso de as 4 pessoas (para os 4 escritórios) serem selecionadas

das 7 mulheres:

n = 7

r = 4

Avaliando a definição de uma permutação em n = 7 e r = 4 , temos que

P 4 = 7 ! 7 - 4 ! = 7 ! 3 !

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

P 4 = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 3 ∙ 2 ∙ 1 = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840  

A probabilidade é o número de resultados favoráveis ​​dividido pelo número de possíveis resultados

P t o d a s   m u l h e r e s = R e s u l t a d o s   f a v o r á v e i s R e s u l t a d o s   p o s s í v e i s

Substituindo os valores, nós temos que

P t o d a s   m u l h e r e s = 840 43680 = 1 52 ≈ 0,01923

Resposta

a )   43680   p o s s i b i l i d a d e s

b ) 1 52 ≈ 0,01923