Um homem e uma mulher combinam um encontro em certo lugar as 12:30. Se o homem chega em um horário uniformemente distribuído entre 12:15 e 12:45, e se a mulher chega independentemente entre 12:00 e 13:00, determine a probabilidade de que o primeiro a chegar não espere mais de 5 minutos. Qual é a probabilidade de que o homem chegue primeiro?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos dizer que X   e   Y são a hora de chegada do homem e da mulher, respectivamente. Então o espaço de X   e   Y são 15,45   e   00 , 60 respectivamente.

A função densidade de probabilidade de X é:

f x = 1 30 ,       15 < X < 45 0 ,       d i f e r e n t e

A função densidade de probabilidade de Y é:

f x = 1 6 0 ,       0 < Y < 60 0 ,       d i f e r e n t e

Como X   e   Y são independentes, a densidade da junta vai ser:

f x , y = f x × f y

f x , y = 1 1800

Então:

f x , y = 1 180 0 ,       0 < Y < 60 0 ,       d i f e r e n t e

Passo 2

Beleza, para encontrarmos a probabilidade do primeiro a chegar não tenha que esperar mais de 5 minutos, vamos usar:

P X - Y ≤ 5 = P ( X - 5 < Y < X + 5 )

P X - Y ≤ 5 = P ( x - 5 < Y < x + 5 )

P X - Y ≤ 5 = ∫ - ∞ ∞ ∫ x - 5 x + 5 f x , y d y d x

Jogando a fórmula encontrada no Passo 1:

P X - Y ≤ 5 = ∫ 15 45 ∫ x - 5 x + 5 1 1800 d y d x

P X - Y ≤ 5 = 1 1800 ∫ 15 45 ∫ x - 5 x + 5 d y d x

Integrando em relação a y e aplicando os limites:

P X - Y ≤ 5 = 1 1800 ∫ 15 45 ( y ) x - 5 x + 5 d x

P X - Y ≤ 5 = 1 1800 ∫ 15 45 10 d x = 1 180 ∫ 15 45 d x

Agora vamos integrar em relação a x e aplicar os limites:

P X - Y ≤ 5 = 1 180 ( y ) 1 5 4 5 = 1 6

Passo 3

Beleza, agora vamos calcular a probabilidade do homem chegar primeiro:

P X < Y = P x < Y

P X < Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ x ∞ f x , y d y d x

Fazendo semelhante ao Passo 2:

P X < Y = 1 1800 ∫ 15 45 ∫ x 60 d y d x

Integrando em relação a y e aplicando os limites:

P X < Y = 1 1800 ∫ 15 45 ( 60 - x ) d x

Agora vamos integrar em relação a x e aplicar os limites:

P X < Y = 1 1800 ( 60 x - x 2 2 ) 1 5 4 5

P X < Y = 1 2

Resposta

a ) 1 6

b ) 1 2