Um homem e uma mulher combinam um encontro em certo lugar as 12:30. Se o homem chega em um horário uniformemente distribuído entre 12:15 e 12:45, e se a mulher chega independentemente entre 12:00 e 13:00, determine a probabilidade de que o primeiro a chegar não espere mais de 5 minutos. Qual é a probabilidade de que o homem chegue primeiro?
Passo 1
Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Vamos dizer que são a hora de chegada do homem e da mulher, respectivamente. Então o espaço de são respectivamente.
A função densidade de probabilidade de é:
A função densidade de probabilidade de é:
Como são independentes, a densidade da junta vai ser:
Então:
Passo 2
Beleza, para encontrarmos a probabilidade do primeiro a chegar não tenha que esperar mais de 5 minutos, vamos usar:
Jogando a fórmula encontrada no Passo 1:
Integrando em relação a e aplicando os limites:
Agora vamos integrar em relação a e aplicar os limites:
Passo 3
Beleza, agora vamos calcular a probabilidade do homem chegar primeiro:
Fazendo semelhante ao Passo 2:
Integrando em relação a e aplicando os limites:
Agora vamos integrar em relação a e aplicar os limites: