O hospital municipal está localizado no centro de um quadrado cujos lados têm 3 km de extensão. Se um acidente ocorrer no interior desse quadrado, então o hospital envia uma ambulância. A disposição das ruas é retangular, então a distância de viagem do hospital, que está nas coordenadas (0, 0), ao ponto (x, y) é x + | y | . Se um acidente ocorre em um ponto uniformemente distribuído no interior do quadrado, determine a distância de viagem esperada da ambulância

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos entender as informações para ter um caminho de como resolver a questão, vamos lá. Primeiro ponto é que Hospital está localizado no centro de uma praça cujos lados têm 3 quilômetros de largura. As coordenadas do hospital são a origem ( 0,0 ) , enquanto a do acidente vamos enumerar como ( x , y ) .

A rede viária é retangular, daí a distância de viagem do hospital até o ponto de acidente é x + | y | . Como os dois lados são iguais, vamos definir a variável aleatória X com os parâmetros de - 1,5 e 1,5 . Assim como a variável aleatória Y .

Passo 2

Agora, vamos encontrar a distância de viagem esperada da ambulância

E = E x + y

Usando a propriedade de linearidade, nós temos que

E = E x + E y

Agora, podemos utilizar as integrais para calcular a esperança

E =   ∫ - 1,5 1,5 x f x   d x + ∫ - 1,5 1,5 y f y   d y

Com isso, obtemos a seguinte configuração

E = 1 3 ∫ - 1,5 1,5 x d x + 1 3 ∫ - 1,5 1,5 y   d y

Passo 3

Separando os intervalos, nós temos

E = 1 3 ∫ - 1,5 0 - x   d x +   ∫ 0 1,5 x   d x + ∫ - 1,5 0 - y   d y + ∫ 0 1,5 y   d y  

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

E = 1 3 ∙ 4 ∙ 1,5 2 2 = 1,5

Resposta

E = 1,5