Uma imagem é dividida em duas regiões, uma branca e outra preta. Uma leitura feita a partir de um ponto escolhido aleatoriamente na região branca é normalmente distribuída com e , enquanto uma feita a partir de um ponto escolhido aleatoriamente na região preta é normalmente distribuída com e . Um ponto é aleatoriamente escolhido na imagem e tem-se uma leitura de 5. Se a fração preta da imagem é igual a ,para que valor de a probabilidade de se cometer um erro não mudaria independentemente do fato de o ponto estar na região branca ou preta?
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A imagem é dividida em duas regiões: Branco e Preto. Um ponto na região branca é uma variável normal distribuída aleatoriamente com média e variação e um ponto na região preta é normalmente distribuído com média e variação .
O que a questão nos pede é qual o valor de onde quando um ponto escolhido aleatoriamente tem valor 5 e é a fração da porção na região preta tal que a probabilidade de fazer um erro seja o mesmo, independentemente de se concluir que está na região preta ou branco. Dito isto, vamos partir para as probabilidades!
Passo 2
Dado que é dado que a probabilidade de cometer um erro ao concluí-la na região preta ou branca é a mesma, podemos assumir sem perda de generalidade para ser em preto e temos
Agora, temos que
Substituindo os valores, nós temos que
Reduzindo um pouco mais, nós temos que
Simplificando um pouco mais, obtemos
Passo 3
Portanto, nós temos que
Fazendo uma multiplicação por dois, chegamos ao seguinte resultado
Desenvolvendo um pouco mais os termos, temos que
Usando da propriedade distributiva
E finalmente, temos o seguinte resultado