Uma imagem é dividida em duas regiões, uma branca e outra preta. Uma leitura feita a partir de um ponto escolhido aleatoriamente na região branca é normalmente distribuída com μ = 4 e σ 2 = 4 , enquanto uma feita a partir de um ponto escolhido aleatoriamente na região preta é normalmente distribuída com μ = 6 e σ 2 = 9 . Um ponto é aleatoriamente escolhido na imagem e tem-se uma leitura de 5. Se a fração preta da imagem é igual a α ,para que valor de α a probabilidade de se cometer um erro não mudaria independentemente do fato de o ponto estar na região branca ou preta?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A imagem é dividida em duas regiões: Branco e Preto. Um ponto na região branca é uma variável normal distribuída aleatoriamente com média μ 1 = 4 e variação σ 1 2 = 4 e um ponto na região preta é normalmente distribuído com média μ 2 = 6 e variação σ 2 2 = 9 .

O que a questão nos pede é qual o valor de onde quando um ponto escolhido aleatoriamente tem valor 5 e é a fração da porção na região preta tal que a probabilidade de fazer um erro seja o mesmo, independentemente de se concluir que está na região preta ou branco. Dito isto, vamos partir para as probabilidades!

Passo 2

Dado que é dado que a probabilidade de cometer um erro ao concluí-la na região preta ou branca é a mesma, podemos assumir sem perda de generalidade para ser em preto e temos

P o   p o n t o   a l e a t ó r i o   d a d o   p e r t e n c e   à   r e g i ã o   p r e t a = 1 2

Agora, temos que

P o   p o n t o   a l e a t ó r i o   d a d o   p e r t e n c e   à   r e g i ã o   p r e t a = α × P [ v a l o r = 5 | p r e t o ] α × P [ v a l o r = 5 p r e t o + 1 - α × P v a l o r = 5 b r a n c a

Substituindo os valores, nós temos que

P o   p o n t o   a l e a t ó r i o   d a d o   p e r t e n c e   à   r e g i ã o   p r e t a = α × e - 1 8 2 2 π α × e - 1 8 2 2 π + 1 - α × e - 1 18 / 3 2 π

Reduzindo um pouco mais, nós temos que

P o   p o n t o   a l e a t ó r i o   d a d o   p e r t e n c e   à   r e g i ã o   p r e t a = α 2 α 2 + 1 - α × e - 5 / 72 3

Simplificando um pouco mais, obtemos

P o   p o n t o   a l e a t ó r i o   d a d o   p e r t e n c e   à   r e g i ã o   p r e t a = 3 α 3 α + 2 1 - α × e - 5 / 72

Passo 3

Portanto, nós temos que

3 α 3 α + 2 1 - α × e - 5 / 72 = 1 2

Fazendo uma multiplicação por dois, chegamos ao seguinte resultado

6 α = 3 α + 2 1 - α × e - 5 / 72

Desenvolvendo um pouco mais os termos, temos que

3 α = 2 1 - α × 0,93

Usando da propriedade distributiva

3 α = 1,86 - 1,86 α → 4,86 α = 1,86

E finalmente, temos o seguinte resultado

α = 0,3827

Resposta

α = 0,3827