Indivíduos 1 a n, n > 1, são recrutados por uma firma da seguinte maneira: o indivíduo 1 começa a firma e recruta o indivíduo 2. Os indivíduos 1 e 2 então competem para recrutar o indivíduo 3. Assim que este é recrutado, os indivíduos 1,2 e 3 competirão para recrutar o

indivíduo 4, e assim por diante. Suponha que quando os indivíduos 1, 2, ..., i compitam para recrutar o indivíduo i + 1, cada um deles tenha igual probabilidade de ser bem-sucedido.

(a) Obtenha o número esperado de indivíduos 1, ..., n que não recrutam ninguém.

(b) Deduza uma expressão para a variância do número de indivíduos que não recrutam ninguém, e a avalie para n = 5

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos identificar a variável X da seguinte forma

X i = 1 ,     N e n h u m   d o s   i   i n d i v i d u a i s   f o i   r e c r u t a d o 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

Com isso, a esperança é igual a

E X i = P [ N e n h u m   d o s   i   i n d i v i d u a i s   f o i   r e c r u t a d o   d e   i + 1 , i + 2 , … ,   n ]

Isso vai ser igual a

E X i = i - 1 i i i + 1 … n - 2 n - 1 = i - 1 n - 1

Então, aqui nesse caso

E ∑ i = 1 n X i = ∑ i = 1 n ( i - 1 ) n - 1

Passo 2

Logo, temos o seguinte resultado

E ∑ i = 1 n X i = n 2

Com isso,

V a r X i = i - 1 n - 1 1 - i - 1 n - 1 = ( i - 1 ) ( n - 1 ) n - 1 2

Para i < j , obtemos

E X i X j = i - 1 i … j - 2 j - 1 j - 2 j j - 2 j + 1 … n - 3 n - 1  

Com isso, nós temos que

V a r E ∑ i = 1 n X i = ∑ i = 1 n V a r ( X i ) + 2 ∑ i = 1 n - 1 ∑ j = i + 1 n C o v [ X i , X j ]

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)