No instante de tempo 0, uma moeda que dá cara com probabilidade p é jogada e cai no chão. Em instantes de tempo escolhidos de acordo com um processo de Poisson com taxa A, a moeda é recolhida e jogada novamente (entre esses instantes de tempo a moeda permanece no chão). Qual é a probabilidade de que a moeda esteja mostrando cara no instante de tempo t? Dica: Qual seria a probabilidade condicional se não houvesse jogadas adicionais a partir de t, e qual seria essa probabilidade caso houvesse jogadas adicionais a partir de t?

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos! ☺

Como definimos os nossos tempos de lançamento de uma moeda de acordo com o processo de Poisson com taxa λ   , o número de vezes que jogamos uma moeda antes tem distribuição P o i s ( λ t ) .

Iremos chamar essa variável aleatória de S. Se S = 0 , pela definiçāo, a probabilidade de terminarmos com cara é 1, já que nāo jogamos uma moeda e dissemos que começamos com cara. Se S ≥ 1 , a probabilidade de terminarmos com cara é simplesmente p uma vez que só depende do último lance.

Assim, a probabilidade é dada por:

p = P ( c a r a ∣ Y = 0 )   P ( E = 0 ) + P ( c a r a ∣ Y ≥ 1 )   P ( E ≥ 1 )  

= e - λ t - + p ⋅ ( 1 - e - λ t - )

Resposta

A probabilidade necessária é de: e - λ t - + p ⋅ ( 1 - e - λ t - ) .