No instante de tempo 0, uma moeda que dá cara com probabilidade p é jogada e cai no chão. Em instantes de tempo escolhidos de acordo com um processo de Poisson com taxa A, a moeda é recolhida e jogada novamente (entre esses instantes de tempo a moeda permanece no chão). Qual é a probabilidade de que a moeda esteja mostrando cara no instante de tempo t? Dica: Qual seria a probabilidade condicional se não houvesse jogadas adicionais a partir de t, e qual seria essa probabilidade caso houvesse jogadas adicionais a partir de t?
Passo 1
Fala galeraaa!
Vamos que vamos! ☺
Como definimos os nossos tempos de lançamento de uma moeda de acordo com o processo de Poisson com taxa o número de vezes que jogamos uma moeda antes tem distribuição .
Iremos chamar essa variável aleatória de S. Se , pela definiçāo, a probabilidade de terminarmos com cara é 1, já que nāo jogamos uma moeda e dissemos que começamos com cara. Se , a probabilidade de terminarmos com cara é simplesmente p uma vez que só depende do último lance.
Assim, a probabilidade é dada por:
Resposta
A probabilidade necessária é de: .