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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 19

Há n itens em uma caixa identificada com a letra H, e m em uma caixa identificada com a letra T. Uma moeda que dá cara com probabilidade p, e coroa com probabilidade 1 - p é jogada. Cada vez que dá cara, um item é removido da caixa H, e cada vez que dá coroa, um item é removido da caixa T (se uma caixa já tiver sido esvaziada, então nenhum item é removido dessa caixa). Obtenha o número esperado de vezes que a moeda precisará ser jogada para que ambas as caixas fiquem vazias.

Dica: Condicione no número de caras nas primeiras n + m jogadas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos definir a variável aleatória X como o número de caras necessárias para esvaziar ambas as caixas e defina N como o número de caras nos primeiros n + m lançamentos. Usando a lei da esperança total, temos que

E X = ∑ k = 0 n + m E X N = k P N = k

Observe que N é uma distribuição binomial com parâmetros n + m e p , então

P N = k = n + m k p k 1 - p n + m - k

Passo 2

Agora, vamos dividir a soma em duas somas menores, se k ≤ n , isto significa que nós temos uma caixa vazia T desde que nós tivéssemos um igual ou maior para m coroas. Em média, precisamos de k - n p lançamentos adicionais para esvaziar a caixa H, pois encontramos distribuição binomial negativa nos lançamentos adicionais necessários. Nesse caso, temos que

E X N = k = n + m + n - k p

De modo similar, se k ≥ n + 1 , isto significa que nós temos as caixas vazias H desde que obtemos um número igual ou maior de n caras. Em média, nós precisamos de k - n p lançamentos adicionais para a caixa vazia H. Então, neste caso, nós temos que

E X N = k = n + m + k - n p

Passo 3

Finalmente, nós terminamos com

E X = n + m + ∑ k = 0 n n - k p n + m k p k 1 - p n + m - k + ∑ k = n + 1 m k - n p n + m k p k 1 - p n + m - k

Então, condicionando a média no número de caras nas primeiras n + m jogadas e pensando no que acontece se k ≤ n e k > n , temos a resposta encontrada acima

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)