Enunciado

João sabe que a distância, em milhares de quilômetros, que um carro pode rodar antes de ir para o ferro-velho é uma variável aleatória exponencial com parâmetro 1/20. José tem um carro que ele diz ter dirigido por 16.000km. Se João comprar esse carro, qual é a probabilidade de que ele consiga rodar pelo menos 32.000 com ele? Repita supondo que a distância que o carro pode rodar não seja exponencialmente distribuída, mas sim uniformemente distribuída em (0,64) (em milhares de km).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Seja X o número de kms que o carro pode rodar antes de ser descartado, logo, temos que X   ~ E x p 1 2 .

A - Sabemos que o carro percorreu 16.000 km e queremos encontrar a probabilidade de que ele dure mais 32.000 km. Usamos a propriedade sem memória da distribuição exponencial, onde t = 16000 e s = 32000

Portanto,

P X ≥ 16000 + 32000 X > 16000 = P ( X ≥ 32000 )

Com isso, nós temos que

P X ≥ 48000 X > 16000 = P X ≥ 32000

Partindo para a integral

P X ≥ 48000 X > 16000 = ∫ 0 ∞ e - 1 32 x   d x = e - 1

Passo 2

B – Como X   ~ U ( 0,64 ) , nós queremos encontrar P ( X > 48 | X > 16 ) , pela regra de Bayes, nós temos que

P X > 48 X > 16 = P X > 48 P X > 16

Passando para integral, nós temos que

P X > 48 X > 16 = ∫ 48 64 1 64   d x ∫ 16 64 1 64   d x = 64 - 48 64 - 16

Com isso, nós temos que

P X > 48 X > 16 = 16 48 = 1 3

Resposta

a )   e - 1

b ) 1 3