Um jogo tem n + 1 participantes. Cada um deles tem probabilidade p de ser a vencedor. Os vencedores dividem um prêmio total de 1 unidade (por exemplo, se 4 pessoas vencerem o jogo, então cada uma delas receberá 1 4 ; por outro lado, se não houver vencedores, ninguém leva nada). Suponha que A represente um dos jogadores e faça com que X represente a quantia por ele recebida.

(a) Compute o prêmio total esperado compartilhado pelos participantes.

(b) Mostre que   E X = 1 - ( 1 - p ) n + 1 n + 1

(c) Calcule E[X] condicionando em A ser ou não um dos vencedores, e conclua que E 1 - B - 1 =   1 - ( 1 - p ) n + 1 n + 1 p quando B é uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

(a) Vamos observar que o prêmio total compartilhado entre os participantes é sempre igual a 0 ou 1. No caso, é zero somente se nenhum dos jogadores for declarado vencedor. Devido a independência entre os resultados, temos que o valor esperado para o prêmio total é dado por:

0 . ( 1 - p ) n + 1 + 1 . 1 - 1 - p n + 1 =   1 - ( 1 - p ) n + 1

Passo 2

(b) Vamos considerar que o jogador A é capaz de ganhar 1 k + 1 do prêmio, onde k representa o número de pessoas que foram declaradas ganhadoras além de A. Porém, note que, para ganhar o prêmio A também precisa ser declarado vencedor.

Digamos que B ~ B i n o m i a l ( n , p ) representa o número de pessoas declaradas ganhadoras, logo:

E X =   ∑ k = 0 n 1 k + 1 p .   n k p k 1 - p n - k =   1 n + 1 ∑ k = 0 n n k p k + 1 1 - p n - k

Reescrevendo o expoente n-k como (n+1)-(k+1) podemos reescrever o somatório e o binomial como:

E X =   1 n + 1 ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 p k + 1 1 - p ( n + 1 ) - ( k + 1 ) = 1 n + 1 ∑ k = 1 n + 1 n + 1 k p k 1 - p ( n + 1 ) - k

Por fim, resolvendo tal somatório obtemos:

E X =   1 n + 1 1 - 1 - p n + 1 =   ( 1 - 1 - p n + 1 ) n + 1

Exatamente como queríamos demonstrar.

Passo 3

(c) Se o jogador A ganhar, o valor esperado que ele ganhe no prêmio é de ( 1 + B ) - 1 . Caso ele não ganhe o prêmio é zero. Então E[X] pode ser escrito como:

E X = E 1 + B - 1 . p

Isolando E 1 + B - 1 e usando o resultado de (b), temos:

E 1 + B - 1 =   E ( X ) p =   ( 1 - 1 - p n + 1 ) ( n + 1 ) p

Novamente, como queríamos demonstrar.

Resposta

a) E p r ê m i o   t o t a l = 1 - ( 1 - p ) n + 1

b) E X =     ( 1 - 1 - p n + 1 ) n + 1

c) E 1 + B - 1 =     ( 1 - 1 - p n + 1 ) ( n + 1 ) p