Um jogo tem n + 1 participantes. Cada um deles tem probabilidade p de ser a vencedor. Os vencedores dividem um prêmio total de 1 unidade (por exemplo, se 4 pessoas vencerem o jogo, então cada uma delas receberá ; por outro lado, se não houver vencedores, ninguém leva nada). Suponha que A represente um dos jogadores e faça com que X represente a quantia por ele recebida.
(a) Compute o prêmio total esperado compartilhado pelos participantes.
(b) Mostre que
(c) Calcule E[X] condicionando em A ser ou não um dos vencedores, e conclua que quando B é uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.

(a) Vamos observar que o prêmio total compartilhado entre os participantes é sempre igual a 0 ou 1. No caso, é zero somente se nenhum dos jogadores for declarado vencedor. Devido a independência entre os resultados, temos que o valor esperado para o prêmio total é dado por:
Passo 2
(b) Vamos considerar que o jogador A é capaz de ganhar do prêmio, onde k representa o número de pessoas que foram declaradas ganhadoras além de A. Porém, note que, para ganhar o prêmio A também precisa ser declarado vencedor.
Digamos que representa o número de pessoas declaradas ganhadoras, logo:
Reescrevendo o expoente n-k como (n+1)-(k+1) podemos reescrever o somatório e o binomial como:
Por fim, resolvendo tal somatório obtemos:
Exatamente como queríamos demonstrar.
Passo 3
(c) Se o jogador A ganhar, o valor esperado que ele ganhe no prêmio é de . Caso ele não ganhe o prêmio é zero. Então E[X] pode ser escrito como:
Isolando e usando o resultado de (b), temos:
Novamente, como queríamos demonstrar.
Resposta
a)
b)
c)