Lâmpadas do tipo i funcionam uma quantidade de tempo aleatória com média μ i e desvio padrão σ i , i = 1,2. Uma lâmpada aleatoriamente escolhida de uma cesta é do tipo 1 com probabilidade p e do tipo 2 com probabilidade 1 -p. Suponha que X represente o tempo de vida desta lâmpada. Determine

(a) E[X]

(b) Var(X)

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Vamos definir como X o tempo de vida da lâmpada e ainda temos que:

Y =   1                           p a r a   a   l â m p a d a   t i p o   1   c o m   p r o b a b i l i d a d e   p 2           p a r a   a   l â m p a d a   t i p o   2   c o m   p r o b a b i l i d a d e   1 - p    

Ou seja: P Y = 1 = p   ,   P Y = 2 = 1 - p

(a) Determinando E[X], temos:

E X = E ( X Y = 1 ) . P Y = 1 + E ( X Y = 2 ) . P Y = 2  

E X = μ 1 p + μ 2 1 - p  

Passo 2

(b) Agora vamos calcular Var(X)

Por definição, temos que:

V a r X =   E X 2 - E [ X ] ²

De (a) já sabemos o valor de E[X], vamos determinar E[X²] que de modo análogo será dado por:

E X ² = E ( X ² Y = 1 ) . P Y = 1 + E ( X ² Y = 2 ) . P Y = 2

E X ² = ( μ 1 2 + σ 1 2 ) p + ( μ 2 2 + σ 2 2 ) 1 - p

Ou ainda:

E X ² = σ 1 2 p + σ 2 2 1 - p + [ μ 1 2 p + μ 2 2 1 - p ]

Portanto:

V a r X =   σ 1 2 p + σ 2 2 1 - p + [ μ 1 2 p + μ 2 2 1 - p ] - ( μ 1 p + μ 2 1 - p ) ²

Simplificando essa expressão teremos:

V a r X =   σ 1 2 p + σ 2 2 1 - p + p ( 1 - p ) ( μ 1 - μ 2 ) ²

Resposta

(a) E X = μ 1 p + μ 2 1 - p  

(b) V a r X =   σ 1 2 p + σ 2 2 1 - p + p ( 1 - p ) ( μ 1 - μ 2 ) ²