Enunciado

Um levantamento estatístico feito por um instituto de pesquisa de opinião pública, nas 8 últimas semanas (20/09 a 8/11) que precederam a eleição para senador no estado de São Paulo, em 1974, mostrou os dados do gráfico:

Pede-se:

  1. Dar a equação da parábola que mostra a evolução da porcentagem de pessoas favoráveis ao candidato vitorioso em função do tempo, e avaliar essa porcentagem em 15/11, comparando-a com a real obtida (71%);
  2. Idem para o candidato derrotado;
  3. Calcular o coeficiente de explicação dessas 2 regressões.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A função polinomial, no caso de ser uma função parabólica (polinômio do 2° grau), tem a seguinte equação:

Y ^ = a + b 1 ∙ X + b 2 ∙ X 2

Quando as variáveis explicativas dependem do tempo, sempre é conveniente, por economia de cálculo e tempo, efetuar a seguinte mudança de variável:

X i = t i - t - → ∑ X i = ∑ t i - t - = 0

Assim as equações para o cálculo das estimativas da regressão polinomial se reduzem para:

∑ Y i = n ∙ a + b 2 ∙ ∑ X i 2                                     ∑ Y i ∙ X i 2 = a ∙ ∑ X i 2 + b 2 ∙ ∑ X i 4 ∑ ( Y i ∙ X i ) = b 1 ∙ ∑ X i 2                                            

Sabendo disso vamos iniciar nosso exercício colocando os dados do gráfico em tabela, onde:

  • X i tempos;
  • Y 1 candidato vitorioso;
  • Y 2 candidato derrotado.

Passo 2

No item a) queremos a equação da parábola do candidato vitorioso:

Substituindo no sistema para encontrar os valores de a , b 1 e b 2 :

447 = 8 ∙ a + 168 ∙ b 2                                   ( 1 ) 8887 = 168 ∙ a + 6216 ∙ b 2                 2   481 = 168 ∙ b 1                                                                 3  

Resolvendo a equação (3):

b 1 = 481 168 = 2,86

Equação (1):

a = 447 - 168 ∙ b 2 8

Substituindo na equação (2):

6216 ∙ b 2 = 8887 - 168 ∙ 447 - 168 ∙ b 2 8

6216 ∙ b 2 = 8887 - 9387 + 3528 ∙ b 2

b 2 = - 0,19

Voltando na equação (1):

a = 447 - 168 ∙ - 0,19 8 = 59,86

A equação da parábola fica:

Y ^ = 59,86 + 2,86 ∙ X - 0,19 ∙ X 2

Considerando que 15/11 é X i = 9 , e substituindo na equação encontrada:

Y ^ = 59,86 + 2,86 ∙ 9 - 0,19 ∙ 9 2 = 70,21 %

Passo 3

No item b) queremos a equação da parábola do candidato derrotado:

Substituindo no sistema para encontrar os valores de a , b 1 e b 2 :

353 = 8 ∙ a + 168 ∙ b 2                                   ( 1 ) 7913 = 168 ∙ a + 6216 ∙ b 2                 2   - 481 = 168 ∙ b 1                                                         3  

Resolvendo a equação (3):

b 1 = - 481 168 = - 2,86

Equação (1):

a = 353 - 168 ∙ b 2 8

Substituindo na equação (2):

6216 ∙ b 2 = 7913 - 168 ∙ 353 - 168 ∙ b 2 8

6216 ∙ b 2 = 7913 - 7 413 + 3528 ∙ b 2

b 2 = 0,19

Voltando na equação (1):

a = 353 - 168 ∙ 0,19 8 = 40,13

A equação da parábola fica:

Y ^ = 40,13 - 2,8 6 ∙ X + 0,19 ∙ X 2

Considerando que 15/11 é X i = 9 , e substituindo na equação encontrada:

Y ^ = 40,13 - 2,86 ∙ 9 + 0,19 ∙ 9 2 = 29,78 %

Passo 4

Para o cálculo do coeficiente de explicação, iremos utilizar a seguinte equação:

R 2 = b 1 ∙ S Y 1 + b 2 ∙ S Y 2 S Y Y

Onde:

S Y 1 = ∑ ( X i ∙ Y i ) - ∑ X i ∙ ∑ Y i n

S Y 2 = ∑ ( X i 2 ∙ Y i ) - ∑ X i 2 ∙ ∑ Y i n

S Y Y = ∑ Y i 2 - ∑ Y i 2 n

Para o candidato vendedor:

S Y 1 = 481 - 0 ∙ 447 8 = 481

S Y 2 = 8887 - 168 ∙ 447 8 = - 500

S Y Y = 26449 - 447 2 8 = 1472,88

R 2 = 2,86 ∙ 481 + ( - 0,19 ) ∙ ( - 500 ) 1472,88 = 99,8 %

Passo 5

Para o candidato derrotado:

S Y 1 = - 481 - 0 ∙ 353 8 = - 481

S Y 2 = 7913 - 168 ∙ 353 8 = 500

S Y Y = 17049 - 353 2 8 = 1472,88

R 2 = - 2,86 ∙ ( - 481 ) + 0,19 ∙ 500 1472,88 = 99,8 %

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  1. Y ^ = 59,86 + 2,86 ∙ X - 0,19 ∙ X 2 ;
  2. Y ^ = 70,21 % .

  3. Y ^ = 40,13 - 2,86 ∙ X + 0,19 ∙ X 2 ;
  4. Y ^ = 70,21 % .

  5. R 2 = 99,8 % .