Língua estrangeira

Uma pesquisa com adultos americanos descobriu que 51% acham que os alunos do ensino médio deveriam ser exigidos a aprender uma língua estrangeira. Você seleciona aleatoriamente 200 adultos americanos e pergunta se eles acham que os alunos do ensino médio deveriam ser exigidos a aprender uma língua estrangeira. Determine a probabilidade de que o número dos que disseram sim seja (a) pelo menos 120, (b) no máximo 80, (c) entre 80 e 120 e (d) identifique quaisquer eventos incomuns. Explique. (Fonte: CBS News.)

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

A partir do enunciado do problema, temos que:

n = 2 00

p = 5 1 % = 0,5 1

q = 1 - p = 0 , 49

Vamos analisar se esses dados satisfazem todos critérios para usarmos a aproximação de uma distribuição normal para uma aproximação binomial, onde n p ≥ 5   e   n q ≥ 5 .

Assim, temos:

n p = 2 00.0 , 51 = 1 02 ≥ 5

n q = 2 00.0 , 49 = 98 ≥ 5

Como os critérios foram satisfeitos, podemos então, usar a distribuição normal.

Determinando a média e o desvio padrão, temos:

μ = n p = 1 02

σ =   n p q = 2 00.0,5 1 . 0 , 49 = 49 , 98 = 7.07

Passo 2

(a) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x > 1 20 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x > 1 19 , 5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 1 19 , 5 - 1 02 7,07 = 2 , 47  

Portanto,

P x > 1 20 =   P z > 2 , 47 = 1 - P ( z < 2 , 47 )

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < 2 , 47 = 0,9932 , assim:

P x > 120 = 1 - 0,9932 = 0,0 06 8   = 0 , 6 8 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

Passo 3

(b) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x < 80 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x < 80 , 5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 80 , 5 - 1 02 7 , 07 = - 3 , 04  

Portanto,

P ( x < 80 ) = P ( x < 80,5 ) = P ( z < - 3,04 )  

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < - 3 , 0 4 = 0,0012   assim:

P ( x < 80 ) = 0,0012 = 0 , 12 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

Passo 4

(c) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( 80 < x < 1 20 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( 79,5 < x < 1 2 0 , 5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 1 2 0 , 5 - 1 02 7 , 07 = 2 , 62  

z = x - μ σ = 79 , 5 - 102 7,07 = - 3 , 18

Portanto,

P 80 < x < 1 20 = P 79,5 < x < 120 , 5 = P z < 2,62 - P ( z < - 3,18 )  

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < 2,6 2 = 0,99 5 6 e P z < - 3 , 18 = 0,0007 assim:

P 80 < x < 1 20 = 0,99 5 6 - 0,0007 = 0,9949 = 99 , 49 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

(d) Os eventos (a) e (b) são considerados incomuns, uma vez que apresentam probabilidade menor que 5%.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

a) 0,68%. Consulte o esboço acima.

b) 0,12%. Consulte o esboço acima.

c) 99,49%. Consulte o esboço acima.

d) Os eventos (a) e (b) são incomuns, pois apresentam probabilidade menor que 5%.