Uma máquina complexa é capaz de operar corretamente desde que 3 de seus 5 motores estejam funcionando. Se cada motor funciona independentemente por um tempo aleatório com função densidade f x = x e - x ,     x > 0 , calcule a função densidade da duração de tempo em que a máquina funciona.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Defina X i como a duração da vida útil do i-ésimo motor em um complexo. Nos é dado isso

essas variáveis ​​ X i são independentes. Além disso, sabemos que a função densidade de

variável aleatória X i é f x = x e - x ,     x > 0 . Então, a CDF nesse caso é igual a

P X i ≤ t = ∫ 0 t x e - x   d x

Resolvendo essa integral por meio de substituição, nós temos

P X i ≤ t = - x e - x 0 t + ∫ 0 t e - x   d x = - t e - t - e - t + 1

Então

F X i = 1 - t + 1 e - t

Passo 2

Defina T como a duração do tempo de vida de todo o complexo. O que é P ( T ≤ t ) . O evento T é satisfeito se e somente se pelo menos 3 dos 5 motores tiverem vida útil mais longa que t . Portanto

P T ≤ t = 1 - P T > t

Logo, substituindo, temos que

P T ≤ t = 1 - ∑ k = 3 5 5 k t + 1 e - t k ∙ 1 - t + 1 e - t 5 - k

E essa é a resposta da questão 😊.

Resposta

P T ≤ t = 1 - ∑ k = 3 5 5 k t + 1 e - t k ∙ 1 - t + 1 e - t 5 - k