A mediana de uma variável aleatória contínua com função distribuição F é o valor de m tal que F m = 1 / 2 . Isto é, uma variável aleatória tem a mesma probabilidade de ser maior ou menor que sua mediana. Determine a mediana de X se X é

(a) uniformemente distribuída ao longo de (a, b);

(b) normal com parâmetros μ , σ 2 ;

(c) exponencial com taxa λ .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nos é dado a seguinte informação

F m = 1 2

E também a seguinte relação

P X < m = P [ X > m ]

A – Para a letra a, temos uma distribuição uniforme, portanto

F X x =   0 ,     x < a x - a b - a ,     a ≤ x ≤ b 1 ,     x > b

Como o intervalo é de [ 0,1 ] , nós temos que

F X m = m - a b - a = 1 2

Usando da propriedade, nós temos que

2 m - a = b - a → m = a + b 2

Passo 2

B – Para a letra b, nós temos que

F m = P X ≤ m = 1 2

Passando para uma distribuição, nós temos que

P Z ≤ m - μ σ 2 = 0,5

Então temos que calcular aquele valor de z para o qual a probabilidade será igual a '0,5'. Da tabela de distribuição normal, podemos ver que em z = 0, a probabilidade é 0,5

z = m - μ σ = 0

Com isso, nós temos que

m = μ

Passo 3

C – Como é uma exponencial com parâmetro λ , nós temos a seguinte função

f X x = λ e - λ x

Portanto, nós temos que resolver a integral dessa função, que será

F X x = ∫ 0 x λ e - λ x   d x

Essa integral tem o seguinte resultado

F X x =   λ e - λ x - λ 0 x =   - e - λ x 0 x

Logo, a função cumulativa será igual a

F X x = 1 - e - λ x

Igualando essa função a 1 2 , nós temos que

F X m = 1 - e - λ m = 1 2

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

e - λ m = 1 2

Aplicando o logaritmo, conseguimos tirar a exponencial

λ m = ln ⁡ 2

Com isso, temos que

m = ln ⁡ 2 λ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)