Enunciado

Um médico desconfia que um paciente tem um tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectará com probabilidade 0,9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade 0,1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato?

Passo 1

Note que, temos uma série de eventos que podem acontecer com o exame:

  1. O paciente pode ter o tumor e o ultra-som apontar que ele tem;
  2. O paciente pode ter o tumor e o ultra-som apontar que ele não tem;
  3. O paciente pode não ter o tumor e o ultra-som apontar que ele tem;
  4. O paciente pode não ter o tumor e o ultra-som apontar que ele não tem;

O exercício nos pede a probabilidade de que o exame aponte o tumor e que o paciente realmente tenha o tumor. Note que caímos nos eventos (1) e (3), em que o exame aponta o tumor.

Passo 2

Denotaremos como A o evento de “o exame apontar o tumor”, B o evento de “ele ter tumor” e C o evento de “ele não ter o tumor”.

Temos na situação (1) que o exame pode apontar o tumor e ele ter o tumor, assim:

P A | B = 0,9

Já na situação (3) o exame pode apontar o tumor, porém ele não ter o tumor, assim:

P A C = 0,1

Assim, utilizando o teorema de Bayes, a probabilidade do paciente realmente ter o tumor será dada por:

P B A = P B ∩ A P A = P A B × P B P A B × P B + P A C × P ( C )

Logo,

P B A = 0,9 × 0,7 [ 0,9 × 0,7 ] + [ 0,1 × ( 0,3 ) ] = 0,954

Resposta

A probabilidade do exame detectar um tumor e o paciente realmente ter o tumor é de 0,954.

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