O melhor preditor linear de Y com respeito a X 1   e X 2 é igual a a + b X 1 + c X 2 , onde a,b e c são escolhidos para minimizar

E Y - a + b X 1 + c X 2 2

Determine a,b e c.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos supor que Y , X 1 , X 2 são variáveis aleatórias Ω → R , onde ( Ω , F ,   P ) é o espaço amostral das probabilidades, neste caso, nós temos que

E Y - a + b X 1 + c X 2 2 = ∫ Ω Y - a - b X 1 - c X 2 2   d P

Aplicando a derivada parcial da expressão respectivamente ao termo a , temos

∂ ∂ a E Y - a + b X 1 + c X 2 2 = ∂ ∂ a ∫ Ω Y - a - b X 1 - c X 2 2   d P

Com isso, nós temos que

∂ ∂ a E Y - a + b X 1 + c X 2 2 =   ∫ Ω ∂ ∂ a Y - a - b X 1 - c X 2 2   d P

Fazendo a derivada, nós temos

∂ ∂ a E Y - a + b X 1 + c X 2 2 =   - 2 ∫ Ω Y - a - b X 1 - c X 2   d P

Com isso

∂ ∂ a E Y - a + b X 1 + c X 2 2 =   - 2 E Y - a - b X 1 - c X 2

Passo 2

Já, fazendo a derivada em respeito a b, obtemos

∂ ∂ b E Y - a + b X 1 + c X 2 2 =   ∫ Ω ∂ ∂ b Y - a - b X 1 - c X 2 2   d P

Fazendo as operações de derivada, nós chegamos ao seguinte resultado

∂ ∂ b E Y - a + b X 1 + c X 2 2 = - 2 ∫ Ω Y - a - b X 1 - c X 2 X 1   d P

Com isso, nós obtemos que

∂ ∂ b E Y - a + b X 1 + c X 2 2 =   - 2 E Y - a - b X 1 - c X 2 X 1

Em respectiva, temos o mesmo raciocínio análogo

∂ ∂ c E Y - a + b X 1 + c X 2 2 =   ∂ ∂ c ∫ Ω Y - a - b X 1 - c X 2 2   d P  

Desenvolvendo o termo, nós temos que

∂ ∂ c E Y - a + b X 1 + c X 2 2 =   ∫ Ω ∂ ∂ c Y - a - b X 1 - c X 2 2   d P

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

∂ ∂ c E Y - a + b X 1 + c X 2 2 =   - 2 E Y - a - b X 1 - c X 2 X 2

Passo 3

E colocando essas derivadas como iguais a zero, nos dá as seguintes condições

E Y = a + b E X 1 + c E ( X 2 )

E Y X 1 = a E X 1 + b E X 1 2 + c E ( X 1 X 2 )

E Y X 2 = a E X 2 + b E X 1 X 2 + c E X 2 2

O que implica em

b = C o v X 1 , X 2 C o v Y , X 2 - C o v Y , X 1 V a r ( X 2 ) C o v X 1 , X 2 2 - V a r X 1 V a r ( X 2 )

c = C o v X 1 , X 2 C o v Y , X 1 - C o v Y , X 2 V a r ( X 1 ) C o v X 1 , X 2 2 - V a r X 1 V a r ( X 2 )

E

a = E Y - b E X 1 - c E ( X 2 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)