A moda de uma variável aleatória contínua com densidade f é o valor de x no qual f(x) atinge seu máximo. Calcule a moda de X nos casos (a), (b) e (c) do Exercício Teórico 5.13

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Função de densidade de uma distribuição uniforme no intervalo ( a , b ) é igual a

f x = 1 b - a ,     x ∈ a , b 0 ,     x ∉ a , b

Aqui vemos facilmente que a função f assume o valor máximo de 1 b - a em cada ponto de

o intervalo ( a , b ) , então o modo é cada ponto do intervalo é ( a , b ) .

Passo 2

B - A distribuição normal com parâmetros μ e σ 2 tem uma função de densidade igual a:

f x = 1 σ 2 π e - x - μ 2 2 σ 2  

Fazendo a derivada, nós obtemos o seguinte resultado

d f d x = 1 σ 2 π e - x - μ 2 2 σ 2   ∙ - 2 x - μ 2 σ 2  

Observe que a expressão acima é igual a zero se e somente se x = μ . Portanto, o único modo é x = μ , pois é o único máximo da função f .

Passo 3

C - A função de densidade da distribuição exponencial com parâmetro λ é

f x = λ e - λ x ,     x ≥ 0 0 ,     x < 0

Vamos mostrar que não há pontos estacionários no intervalo aberto ( 0 , ∞ ) . Nós temos que

d f d x = - λ 2 e - λ x

Observe que para todos x ∈ ( 0 , ∞ ) , nós temos que f ' < 0 , então não há nenhum ponto estacionário nesse intervalo. Além disso, devido ao fato de que a primeira derivada é negativa, f é decrescente nesse intervalo. No lado da ordem, f é igual a zero em ( - ∞ , 0 ) . Assim, o máximo é assumido no valor 0. Portanto, o modo de distribuição exponencial é 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)