Uma moeda que dá cara com probabilidade p é jogada continuamente. Calcule o número esperado de jogadas que precisam ser feitas até que uma série de r caras seguidas seja obtida.

Dica: Condicione no instante da primeira ocorrência de uma coroa para obter a equação

E X = 1 - p ∑ i = 1 r p i - 1 i + E X + 1 - p ∑ i = r + 1 ∞ p i - 1 r

Simplifique e resolve para E [ X ] .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos definir uma variável aleatória X que conte o número de lançamentos necessários para obter uma sequência de r caras na linha e definir a variável aleatória N que marca o julgamento em que obtivemos a primeira cauda. Temos que N tem distribuição geométrica

com parâmetro de sucesso ( 1 - p ) , ou seja

N   ~   G e o ( 1 - p )

Vamos calcular a média de X . Usando a lei da esperança total, temos que

E X = ∑ i = 1 ∞ E X N = i P N = i

Expandindo nós temos que

E X =   ∑ i = 1 ∞ E X N = i P N = i + ∑ i = r + 1 ∞ E X N = i P N = i

Se i ≤ r , isso significa que a primeira cauda ocorreu nas r primeiras tentativas. Então nós podemos esquecer o que aconteceu nas i primeiras tentativas e começar a contar e esperar caras consecutivas novamente desde o início. Portanto

E X N = i = i + E ( X )

Passo 2

Por outro lado, se i > r , temos que E X N = i = r já que obtivemos caras consecutivas enquanto esperávamos pela moeda cair coroa. Portanto

E X = ∑ i = 1 r i + E X p i - 1 1 - p + ∑ i = r + 1 ∞ r p i - 1 1 - p

Desenvolvendo o termo, nós temos

E X = 1 - p ∑ i = 1 r i + E X p i - 1 + ( 1 - p ) ∑ i = r + 1 ∞ r p i - 1

Definindo E X = μ e resolva a equação superior para μ . Nós temos isso

μ = 1 - p ∑ i = 1 r i p i - 1 + 1 - p μ ∑ i = 1 r p i - 1 + 1 - p r p r ∑ i = 0 ∞ p i

Passo 3

Vamos lidar com essas somas. Podemos escrever a primeira soma como

∑ i = 1 r i p i - 1 = ∑ i = 1 ∞ i p i - 1 - ∑ i = r + 1 ∞ i p i - 1

Nós temos que

∑ i = 1 ∞ i p i - 1 = ∑ i = 0 ∞ p i ' = 1 1 - p ' = 1 1 - p 2

E

∑ i = r + 1 ∞ i p i - 1 = ∑ i = 1 ∞ r + i p r + i - 1 = ∑ i = 0 ∞ p r + i ' = p r 1 - p '

Com isso, nós temos que

r p r - 1 1 - p + p r 1 - p 2

Passo 4

A segunda soma é bem fácil, pois temos que

∑ i = 1 r p i - 1 = ∑ i = 0 r - 1 p i = 1 - p r 1 - p

e para a terceira soma, temos que

∑ i = 0 ∞ p i = 1 1 - p

Juntando tudo, nós obtemos o seguinte resultado

μ = 1 - r p r - 1 1 - p - p r 1 - p + μ 1 - p r + r p r

O que implica em

μ = 1 p r 1 - r p r - 1 1 - p - p r 1 - p + r p r

Resposta

μ = 1 p r 1 - r p r - 1 1 - p - p r 1 - p + r p r