Uma moeda que dá cara com probabilidade p é jogada continuamente. Calcule o número esperado de jogadas que precisam ser feitas até que uma série de r caras seguidas seja obtida.
Dica: Condicione no instante da primeira ocorrência de uma coroa para obter a equação
Simplifique e resolve para .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Vamos definir uma variável aleatória que conte o número de lançamentos necessários para obter uma sequência de caras na linha e definir a variável aleatória que marca o julgamento em que obtivemos a primeira cauda. Temos que tem distribuição geométrica
com parâmetro de sucesso , ou seja
Vamos calcular a média de . Usando a lei da esperança total, temos que
Expandindo nós temos que
Se , isso significa que a primeira cauda ocorreu nas primeiras tentativas. Então nós podemos esquecer o que aconteceu nas primeiras tentativas e começar a contar e esperar caras consecutivas novamente desde o início. Portanto
Passo 2
Por outro lado, se , temos que já que obtivemos caras consecutivas enquanto esperávamos pela moeda cair coroa. Portanto
Desenvolvendo o termo, nós temos
Definindo e resolva a equação superior para . Nós temos isso
Passo 3
Vamos lidar com essas somas. Podemos escrever a primeira soma como
Nós temos que
E
Com isso, nós temos que
Passo 4
A segunda soma é bem fácil, pois temos que
e para a terceira soma, temos que
Juntando tudo, nós obtemos o seguinte resultado
O que implica em