Uma moeda honesta é jogada 10 vezes. Determine a probabilidade de ocorrência de uma série de 4 caras consecutivas:

a) usando a fórmula deduzida no texto;

b) usando as equações recursivas deduzidas no texto.

c) Compare a sua resposta com aquela dada pela aproximação de Poisson.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos! ☺

Para o item (a), definimos o evento E e u que marca que a partir do eu a posição em diante, temos para cabeças consecutivas.

Da fórmula de inclusão-exclusão, temos que a probabilidade de existir tal sequência é:

P ∪ l = 1 7   E e u = ∑ r = 1 7 - 1 r + 1   ∑ e u 1 < ⋯ < l r P ( E e u 1 …   E e u r )

já que temos isso n - para +1 = 7. Utilizando a fórmula, temos que a probabilidade e igual a:

P ∪ l = 1 7   E e u = ∑ r = 1 7 - 1 r + 1 10 - 4 r -   r   + 2 10 - 4 r -   r - 1   1 2 5 r -  

Utilizamos o software R que apresenta como resposta: 0, 2451343.

Passo 2

Para o item (b), se marcarmos com P n     a probabilidade de existir uma sequência de para cabeças consecutivas, de acordo com a relação recursiva apresentada no conteúdo, temos:

P n =   ∑ j = 1 p a r a P n - j 1 2 j + 1 2 p a r a

Onde, temos:

P 1 = P 2 = P 3 = 0   e   P 4 = 1 16 .  

Utilizamos o software R que apresenta como resposta: 0, 2451172.

Passo 3

Para o item (c), utilizando e u 10 ≤ 4 , marcamos o evento em que o mais longo golpe de caras consecutivas é maior que 4. Temos que a aproximação de Poisson dessa probabilidade é de:

P l 10 < 4 ≈ e x p e x p   - 10 - 4   +   2 2 4 + 1   = e - 0,25 = 0 ,   7788008  

Logo, a probabilidade de que exista um golpe de comprimento 4 ou maior que 4 é de:

P L 10 ≥ 4 = 1 - P ( L 10 < 4 = 0 ,   2211992

Resposta

a) 0, 2451343.

b) 0, 2451172.

c) 0, 2211992.