Mostre que f x , y = 1 x ,   0 < y < x < 1 é uma função densidade conjunta. Supondo que f seja a função densidade conjunta de X, Y, determine

(a) a densidade marginal de Y

(b) a densidade marginal de X

(c) E(X);

(d) E(Y),

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos destacar aqui o que é dado no enunciado:

f x , y = 1 x ,       0 < y < x < 1 0 ,       d i f e r e n t e            

Começando pela letra (a), vamos calcular a função densidade de Y :

f y = ∫ y 1 f x , y d x

f y = ∫ y 1 1 x d x = ( log ⁡ x ) y 1

f y = - log ⁡ ( y )

Passo 2

Beleza, vamos para a letra (b). Vamos calcular a função densidade de X :

f x = ∫ 0 x f x , y d y = ∫ 0 x 1 x d y

f x = ∫ 0 x 1 x d y = y x 0 x

f x = x x - 0 x = 1

Passo 3

Beleza, vamos para a letra (c). Vamos calcular E ( X ) :

E X = ∫ 0 1 x f ( x ) d x = ∫ 0 1 x d x

E X = ∫ 0 1 x d x = x ² 2 0 1

E X = 1 2

Passo 4

Beleza, vamos para a letra (d). Vamos calcular E ( Y ) :

E Y = ∫ 0 1 y f ( y ) d y = ∫ 0 1 y ( - l o g ⁡ ( y ) d y

E Y = - - 1 2 ∫ 0 1 y d y

E Y = 1 4

Resposta

a ) f y = - log ⁡ ( y )

b )   f x = 1

c ) E X = 1 2

d )   E Y = 1 4