Mostre como calcular Cov(X,Y) a partir da função geratriz de momentos conjunta de X e Y.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Temos que a função geradora de momento conjunto de X e Y é

M X , Y t 1 , t 2 = E ( e t 1 X + t 2 Y )

Vamos observar que

∂ ∂ t 1 M X , Y t 1 , t 2 = E ( X e t 1 X + t 2 Y )

O que nos indica

E X = ∂ ∂ t 1 M X , Y ( 0,0 )

E de modo similar, nós temos

E Y = ∂ ∂ t 2 M X , Y ( 0,0 )

Passo 2

Agora, vamos considerar o que acontece se nós fazemos a derivada parcial M X , Y ( t 1 , t 2 ) em respeito a t 1 e t 2 , nós temos que

∂ 2 ∂ t 1 ∂ t 2 M X , Y t 1 , t 2 = E X Y e t 1 X + t 2 Y  

O que implica em

∂ 2 ∂ t 1 ∂ t 2 M X , Y 0,0 = E ( X Y )

Finalmente, nós temos que

C o v X , Y = E X Y - E X E ( Y )

Logo,

C o v X , Y = ∂ 2 ∂ t 1 ∂ t 2 M X , Y - ∂ ∂ t 1 M X , Y ∂ ∂ t 2 M X , Y 0,0  

Resposta

C o v X , Y = ∂ 2 ∂ t 1 ∂ t 2 M X , Y - ∂ ∂ t 1 M X , Y ∂ ∂ t 2 M X , Y 0,0