Mostre que X é estocasticamente maior que Y se e somente se E f X ≥   E f Y para todas as funções crescentes f.

Dica: Mostre que X ≥ s t Y , depois E f X ≥   E f Y mostrando que f ( X ) ≥ s t f ( Y ) , e então usando o Exercício Teórico 7.7. Para mostrar que P { X > t } ≥ P { Y > t } se E f X ≥   E f Y para todas as funções crescentes f, defina uma função crescente f apropriada.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Vamos supor que X é estocasticamente maior que Y, adotemos uma função f crescente. Iremos mostrar que f(X) é estocasticamente maior que f(Y), como f é uma função crescente, ela é bijetora, então existe uma função inversa. Desse modo, temos que

P f X > t = P X > f - 1 t ≥   P Y > f - 1 t = P ( f Y > t )  

Se f(X) é estocasticamente maior que f(Y), pelo resultado do exercício teórico 7.7. temos que:

E f ( X ) ≥ E ( f ( Y ) )

De resultados anteriores já sabemos que

E f ( X ) = P ( X > t ) e E f ( Y ) = P ( Y > t )

Assim, podemos concluir que P X > t ≥ P ( Y > t ) o que mostra que X é estocasticamente maior que Y.

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração.