Mostre que o quadrado médio do erro

s 2 = S Q E k ( n - 1 )

da análise de variância em uma classificaçaao simples é uma estimativa nāo-viciada de σ 2 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

De uma forma de classificação, existem k tratamentos e tamanho das amostras n . O modelo matemático linear para a classificação unidirecional é

y i j = μ + α i + ϵ i j i = 1,2 , … . . k ; j = 1,2 , … … n → ( 1 )

Aplicamos 1 n ∑ i = 1 n   toda a equação (1)

y i j = μ + α i + ϵ i j i = 1,2 , … … k ; j = 1,2 , … . n → ( 1 )   ⇒ 1 k ∑ j = 1 n     y i j = 1 n ∑ j = 1 n     μ + 1 n ∑ j = 1 n     α i + 1 n ∑ j = 1 n     ϵ i j   ⇒ y i .   = μ + α i + ϵ ‾ i . → ( 2 )  Given  ϵ i j ∼ N 0 , σ 2   ⇒ E ϵ i j = 0  and  V a r ⁡ ϵ i j = σ 2  From  V a r ⁡ ϵ i j = σ 2 , E ϵ i j   2 - E ϵ i j 2 = σ 2   ⇒   E ϵ i j   2 = σ 2 → ( 3 )

Passo 2

Sabemos que ϵ ‾ i , = N 0 , σ 2 n

⇒ E ϵ ‾ i 1 = 0  and  V a r ⁡ ϵ ‾ i 1 = σ 2 n

De V a r ⁡ ϵ ‾ i . = σ 2 n ,

E ϵ ‾ i . 2 - E ϵ ‾ i . 2 = σ 2 n   ⇒   E ⊕ ‾ i . 2 = σ 2 n → ( 4 )

Passo 3

Excepção de S S E é

E ( S S E )   = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     y i j - y ‾ i 2   = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     μ + α i + ϵ i j - μ - α i - ϵ ‾ i 2   De  (1)  e  (2)    = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ i j - ϵ ‾ i . 2   = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ i j   2 + ϵ ‾ i .   2 - 2 ϵ i j ϵ ‾ i .   = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ i j   2 + ϵ ‾ i .   2 - 2 ϵ i j ϵ ‾ i .   = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ i j   2 + ∑ i = 1 k     n ϵ ‾ i .   2 - 2 ∑ i = 1 k     ϵ ‾ i ∑ j = 1 n     ϵ i j   = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ i j   2 + ∑ i = 1 k     n ϵ ‾ i .   2 - 2 ∑ i = 1 k     ϵ ‾ i n ϵ ‾ i .   = E ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     ϵ i j   2 - ∑ i = 1 k     n ϵ ‾ i   2

Passo 4

  = ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     E ϵ i j   2 - ∑ i = 1 k     n E ϵ ‾ i . 2   = ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 n     σ 2 - ∑ i = 1 k     n σ 2 n   De  (3)  e  (4)    = k n σ 2 - k σ 2   = k σ 2 ( n - 1 )

Portanto E [ S S E ] = k ( n - 1 ) σ 2

⇒ E S S E k ( n - 1 ) = σ 2

Portanto, s 2 = S S E k ( n - 1 ) é estimativa não baizada de σ 2

Resposta

Resposta nos passos.