Mostre que, se X e Y são identicamente distribuídas e não necessariamente independentes, então

C o v X + Y , X - Y = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos pensar assim, primeiramente, existe uma propriedade da covariância chamada bilinearidade, que basicamente nos diz sobre uma covariância dada uma combinação linear, logo, passando essa interpretação para o problema, nós temos que

C o v X + Y , X - Y = C o v X , X - C o v X , Y + C o v Y , X - C o v ( Y , Y )

Nós sabemos que

C o v X , Y = C o v ( Y , X )

Então

C o v X + Y , X - Y = V a r X - C o v X , Y + C o v X , Y - V a r ( Y )

Passo 2

Agora, vamos simplificar as coisas

C o v X + Y , X - Y = V a r X - V a r ( Y )

Como X e Y igualmente distribuídos, temos que V a r X = V a r ( Y ) , logo

C o v X + Y , X - Y = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)