Mostre que, se X e Y são independentes, então

E X Y = y = E X ,     p a r a   t o d o   y

A – no caso discreto;

B – no caso contínuo;

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Vamos começar pelo lado esquerdo, nós temos que

E X Y = y = ∑ x x P X = x Y = y

Com isso, nós temos que

E X Y = y = ∑ x x P X = x

Onde a segunda igualdade é a consequência do fato de X e Y serem independentes.

Passo 2

B – Vamos começar de novo pelo lado esquerdo, para y ∈ s u p p   f Y , nós temos que

E X Y = y = ∫ R x f X | Y x y   d x

Por causa da independência, nós temos que

f X | Y x y = f x , y f Y ( y ) = f X x f Y y f Y ( y ) = f X ( x )

Então, nós temos que a integral é igual a

∫ R x f X | Y x y   d x = ∫ R x f X x   d x = E ( X )

Então nós provamos os dois casos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)