Enunciado

a. Mostre que ∑ a   - 1 e i = 0 quando os e i s sao os resíduos de uma regressāo linear simples.

b. Os resíduos de uma regressão linear simples são independentes entre si, positivamente correlacionados ou negativamente correlacionados? Explique.

c. Mostre que ∑ i - 1 π   x i e i = 0 para os residuos de uma regressao linear simples. [Esse resultado, juntamente a parte (a), mostra que existem duas restriçōes lineares nos e i s , 0 que resulta em uma perda de 2 g l quando os resíduos quadrados sāo usados para estimar σ 2 .]

d. É verdade que ∑ i = 1 n   e i * = 0 ? Forneça uma prova ou um exemplo contrário.

Passo 1

a.  e i = y i - β ^ 0 - β ^ 1 x i = y i - y - - β ^ 1 x i - x - ,  então

Σ e i = Σ y i - y - - β ^ 1 Σ x i - x - = 0 + β ^ 1 ⋅ 0 = 0

Passo 2

b. Como Σ e i = 0 sempre, os resíduos não podem ser independentes. Há claramente uma relação linear entre os resíduos. Se um e 1 for grande positivo, então pelo menos um outro e 1 teria que ser negativo para preservar   Σ e i = 0 . Isso sugere uma correlação negativa entre os resíduos (para valores fixos de qualquer n-2, os outros dois obedecem a uma relação linear negativa).

Passo 3

c. Σ x i e i = Σ x i y i - Σ x i y ‾ - β ˆ 1 Σ x i x i - x ‾ = Σ x i y i - Σ x i Σ y i n - β ˆ 1 Σ x i 2 - Σ x i 2 n

, mas o primeiro termo entre colchetes é o numerador de β ˆ 1 , enquanto o segundo termo é o denominador de β ˆ 1 então a diferença se torna (numerador de β ˆ 1 ) - (numerador de β ˆ 1 ) = 0.

Passo 4

d .   Os cinco e i * do Exercício 7 acima são -1.55,68,1.25,-.05 e -1.06, cuja soma é =73. Essa soma difere muito de 0 para ser explicada por arredondamento. Em geral, não é verdade que Σ e i * = 0 .

Resposta

a. 0

b. Isso sugere uma correlação negativa entre os resíduos (para valores fixos de qualquer n-2, os outros dois obedecem a uma relação linear negativa).

c. (numerador de β ˆ 1 ) - (numerador de β ˆ 1 ) = 0.

d. Em geral, não é verdade que Σ e i * = 0 .