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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios Teóricos - Ex. 12

Mostre que as variáveis aleatórias contínuas (discretas) contínuas X 1 , … , X n são independentes se e somente se a sua função densidade (discreta) de probabilidade conjunta f ( x 1 , … , x n ) puder ser escrita como

f x 1 , … , x n = ∏ i = 1 n g i ( x i )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos provar essa afirmação como um se e somente se ↔ . Primeiro, vamos provar a ida. Suponha que essas variáveis ​​sejam independentes, ou seja, para qualquer escolha de subconjuntos reais B 1 , … , B n , nós temos que

P X 1 ∈ B 1 , … , X n ∈ B n = P X 1 ∈ B 1 … P ( X n ∈ B n )

Vamos pegar especificamente o termo B 1 = - ∞ , x 1 , … , B n = - ∞ , x n . A expressão acima é igual a

F x 1 , … , x n = F X 1 x 1 … F X n ( x n )

Aplicando as derivadas parciais ∂ n ∂ x 1 … ∂ x n , o lado esquerdo da igualdade é igual a

∂ n ∂ x 1 … ∂ x n F x 1 , … , x n = f ( x 1 , … , x n )

E o lado direito é igual a

∂ n ∂ x 1 … ∂ x n F X 1 x 1 … F X n x n = f X 1 x 1 … f X n ( x n )

Então nós conseguimos provar a primeira parte, vamos para a outra parte agora

Passo 2

Suponha que a PDF conjunta possa ser escrita como

f x 1 , … , x n = ∏ i = 1 n g i x i

Queremos mostrar que as variáveis ​​aleatórias X i são independentes. Então, pegue quaisquer subconjuntos de números reais B 1 , B 2 , … , B n . Nós temos que

P X 1 ∈ B 1 , … , X n ∈ B n = ∫ B 1 × … × B n f x 1 , … , x n d x 1 … d x n

Com isso, nós temos que

P X 1 ∈ B 1 , … , X n ∈ B n =   ∫ B 1 × … × B n ∏ i = 1 n g i x 1 d x 1 … d x n  

Separando as integrais, nós obtemos a seguinte integral

P X 1 ∈ B 1 , … , X n ∈ B n =   ∫ B 1 g 1 x 1 d x 1 ∫ B 2 g 2 x 2 d x 2 … ∫ B n g n x n d x n

E finalmente,

P X 1 ∈ B 1 , … , X n ∈ B n = P X 1 ∈ B 1 … P X n ∈ B n

Então, nós provamos que as variáveis X i são independentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)