Mostre que, para variáveis aleatórias X e Z,

E [(X - Y)^2] = E [X^2] - E [ Y^2 ]

Onde

Y = E [ X | Z ]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos reescrever o lado esquerdo, nós temos que

E ((X - Y)^2) = E (X^2 + Y^2 - 2 X Y)

Com isso, obtemos

E ((X - Y)^2) = E (X^2) + E (Y^2) - 2 E ( X Y )

Agora, o que é E ( X Y ) ? Vamos provar que é igual a E ( Y^2 )

E (X Y - Y^2) - E (Y (X - Y)) = E ( (E (X,Z) * (X - E (X,Z))) = 0

Passo 2

A expressão acima é igual a zero, pois sabemos que a projeção E (X,Z) e a conexão entre o ponto X e a projeção são ortogonais. Portanto E (X Y) = E ( Y^2 ) , o que implica

E ((X - Y)^2) = E (X^2) - E ( Y^2 )

Provando o que nos foi pedido!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)