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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 23

Mostre que, se Z é uma variável aleatória normal padrão e Y é definida como Y = a + b Z + c Z 2 , então

p Y , Z = b b 2 + 2 c 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar Z como uma V.A normal N 0,1 e Y = a + b Z + c Z 2 . p pode ser mostrado pela seguinte fórmula

p Y , Z = C o v Y , Z V a r Y V a r Z

A covariância é calculada da seguinte forma:

C o v Y , Z = C o v a + b Z + c Z 2 , Z

Desenvolvendo o termo, nós obtemos o seguinte resultado

C o v Y , Z = b C o v Z , Z + c C o v Z 2 , Z

Logo

C o v Y , Z = b V a r Z + c E Z 3 - c E Z 2 E ( Z )

Passo 2

Como Z é uma variável normal padrão, E Z = 0 ,   V a r X = 1 . Com isso, temos que E Z 3 = 0 . Então

C o v Y , Z = b V a r Z = b

E a variância é dada por

V a r Y = b 2 V a r Z + c 2 V a r ( Z 2 )

Desenvolvendo os termos, nós temos que

V a r Y = b 2 + c 2 E Z 4 - c 2 E Z 2 2 = b 2 + 3 c 2 - 1 c 2

Com isso,

V a r Y = b 2 + 2 c 2

Logo,

p Y , Z = b b 2 + 2 c 2 1 = b b 2 + 2 c 2

Então, nós conseguimos provar o que nos foi pedido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)