Mostre que, se X é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ, então

E X n = λ E ( X + 1 ) n - 1

Agora use esse resultado para calcular E X 3 .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para provarmos a igualdade, vamos precisar da fórmula principal de E X n :

E X n = ∑ x = 0 ∞ x n . e - λ λ x x !

Para começarmos, vamos fazer duas pequenas mudanças na fórmula:

λ x = λ . λ x - 1

x ! = x x - 1 !

Jogando na fórmula:

E X n = ∑ x = 0 ∞ x n . e - λ λ λ x - 1 x x - 1 !

E X n = λ ∑ x = 0 ∞ x n - 1 . e - λ λ x - 1 x - 1 !

Show, agora vamos fazer uma mudança de variáveis, y = x - 1 :

y = x - 1 → x = y + 1

E X n = λ ∑ x = 0 ∞ x n - 1 . e - λ λ x - 1 x - 1 ! = λ ∑ x = 0 ∞ ( y + 1 ) n - 1 . e - λ λ y y !

Logo:

λ ∑ x = 0 ∞ ( y + 1 ) n - 1 . e - λ λ y y ! = λ E ( X + 1 ) n - 1

Show, provamos a igualdade, agora vamos calcular o que é pedido no enunciado.

Passo 2

Ok, vamos calcular aqui E X 3 :

E X n = λ E ( X + 1 ) n - 1

E X 3 = λ E ( X + 1 ) 2

Abrindo o quadrado:

E X 3 = λ E X 2 + 2 X + 1

E X 3 = λ E ( X 2 ) + 2 E ( X ) + 1

Ok, reparem na nossa função que nós precisamos dos valores de E X 2 e E ( X ) , então vamos calcular também:

E X n = λ E ( X + 1 ) n - 1

E X 2 = λ E ( X + 1 ) 1

E X 2 = λ E X + λ

Agora vamos calcular E ( X ) :

E X n = λ E ( X + 1 ) n - 1

E X 1 = λ E ( X + 1 ) 0

E X = λ E 1 = λ

Passo 3

Beleza, agora vamos fazer todas as substituições necessárias:

E X 3 = λ E ( X 2 ) + 2 E ( X ) + 1

E X 2 = λ E X + λ

E X = λ

Fazendo a primeira substituição:

E X 2 = λ E X + λ = λ 2 + λ

Jogando agora na fórmula principal:

E X 3 = λ λ 2 + λ + 2 λ + 1

E X 3 = λ 3 + 3 λ 2 + λ

Resposta

E X 3 = λ 3 + 3 λ 2 + λ