Enunciado

Mostre que E (S_e^2) = sigma_e^2 .

Passo 1

Prova. Vamos decompor a demonstração em três partes:

Vejamos quanto vale E (S Q T o t) . Temos:

Y_i = alpha + beta x_i + e_i , i = 1,2 , ... , n ; e_i tilde N (0 , sigma_e^2) .

Somando as n parcelas em cada membro e dividindo por n , obtemos:

overset(-)(Y) = alpha + beta overset(-)(x) + overset(-)(e) , N tilde ( 0 ; sigma_e^2 // n )

E ainda,

Y_i - overset(-)(Y) = beta (x_i - overset(-)(x)) + e_i - overset(-)(e) ,

S Q T o t = sum (Y_i - overset(-)(Y))^2

= beta^2 sum (x_i - overset(-)(x))^2 + sum (e_i - overset(-)(e))^2 + 2 beta sum (x_i - overset(-)(x)) (e_i - overset(-)(e)) .

Calculando a esperança, teremos:

E (S Q T o t) = beta^2 (sum (x_i - overset(-)(x))^2 + E [sum (e_i - overset(-)(e))^2]) + 2 beta sum (x_i - overset(-)(x)) E (e_i - overset(-)(e))

= beta^2 sum (x_i - overset(-)(x))^2 + E [sum (e_i - overset(-)(e))^2] + 0 .

Mas,

E [sum (e_i - overset(-)(e))^2] = (n - 1) E [(sum (e_i - overset(-)(e))^2)/(n - 1)] = (n - 1) sigma_e^2 ,

Pois é equivalente à variância de uma amostra aleatória simples de tamanho n , retirada da população N (0 , sigma_e^2) , e já vimos que essa é a expressão de um estimador não viesado da variância sigma_e^2 . Então:

E (S Q T o t) = beta^2 sum (x_i - overset(-)(x))^2 + (n - 1) sigma_e^2 .

Passo 2

Vamos calcular agora E (S Q R e g) . De (16.33) ,

S Q R e g = hat beta^2 sum (x_i - overset(-)(x))^2

E de (16.37) ,

V a r (hat beta) = sigma_e^2 // sum (x_i - overset(-)(x))^2 .

Mas da definição de variância, sabemos que:

V a r (hat beta) = E (hat beta^2) - E^2 (hat beta) = E (hat beta^2) - beta^2

Pois E (hat beta) = beta . Combinando estas expressões, teremos:

E [S Q R e g] = sum (x_i - overset(-)(x))^2 E (hat beta^2) = [V a r (hat beta) + hat beta] sum (x_i - overset(-)(x))^2

= {(sigma_e^2)/(sum (x_i - overset(-)(x))^2) + beta^2} sum (x_i - overset(-)(x))^2

= sigma_e^2 + beta^2 sum (x_i - overset(-)(x))^2 .

Explicitamente, E [S Q R e g] = sigma_e^2 + beta^2 sum (x_i - overset(-)(x))^2 .

Passo 3

Finalmente, como S Q R e s = S Q T o t - S Q R e g ,

E [S Q R e s] = [beta^2 sum (x_i - overset(-)(x))^2 + (n - 1) sigma_e^2] - [sigma_e^2 + beta^2 sum (x_i - overset(-)(x))^2] = (n - 2) sigma_e^2 ,

A partir de que podemos escrever:

E ((S Q R e s)/(n - 2)) = sigma_e^2 ,

Ou seja,

S_e^2 = (sum (y_i - overset(-)(y))^2)/(n - 2)

É estimador não visado de sigma_e^2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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