Muitas pessoas acreditam que a variação diária no preço das ações de uma companhia na bolsa de valores é uma variável aleatória com média 0 e variância σ². Isto é, se Y n representa o preço da ação no n-ésimo dia, então

Y n =   Y n - 1 + X n           n ≥ 1

onde X 1 ,   X 2 ,   …   são variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas com média 0 e variância σ². Suponha que o preço atual de uma ação seja 100. Se σ² = 1, o que pode ser dito a respeito da probabilidade de que o preço da ação exceda 105 após 10 dias?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Vamos começar assumindo que hoje é o enésimo dia e preço a ação hoje é de 100. Sabendo que σ² = 1 e considerando os próximos 10 dias, temos:

Hoje: Y n =   Y 0 = 100

1º Dia: Y 1 =   Y 0 + X 1 = 100 + X 1

2º Dia: Y 2 =   Y 1 + X 2 = 100 + X 1 + X 2

3º Dia: Y 3 =   Y 2 + X 3 = 100 + X 1 + X 2 + X 3

9º Dia: Y 9 =   Y 8 + X 9 = 100 + X 1 + X 2 + … + X 9

10º Dia: Y 10 =   Y 9 + X 10 = 100 + X 1 + X 2 + … + X 9 + X 10

Logo, podemos ver que o preço da ação após o 10º dia é dado por Y 10 =   100 + X 1 + … + X 10

Devido a independência de X e as propriedades de valor esperado e variância, temos que:

E Y 10 =   100 + 10 μ = 100

e

V a r Y 10 =   10 σ 2 = 10

Passo 2

Agora precisamos determinar a probabilidade P Y 10 > 105 . Para calcularmos essa probabilidade usemos o teorema do limite central:

P Y 10 > 105 = 1 -   P Y 10 ≤ 105 = 1 -   P Y 10 - 100 1 0 ≥ 105 - 100 10

P Y 10 > 105 = 1 - Φ 105 - 100 10

P Y 10 > 105 = 1 - Φ 1,58

Usando a tabela da curva distribuição normal para Φ 1,58 = 0,9 429 temos que:

P Y 10 > 105 = 1 - 0,9429 = 0,0571

Resposta

P Y 10 > 105 = 0,0571