1.8 Novamente consulte o jogo de dardos explicado no Exemplo 1.2.7.

(a) Deduza a fórmula geral para a probabilidade de marcar i pontos.

(b) Mostre que P(marcar i pontos) é uma função decrescente de i, ou seja, à medida que os pontos aumentam, a probabilidade de pontuá-los diminui.

(c) Mostre que P(marcar i pontos) é uma função de probabilidade de acordo com os Axiomas de Kolmogorov.

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.

Letra (a): a fórmula geral para a probabilidade de marcar i pontos será:

P(pontuando exatamente i pontos) = P(dentro do círculo i) − P(dentro do círculo i + 1)

O círculo i tem raio 6   -   i r 5 , então:

P m a r c a n d o   e x a t a m e n t e   i   p o n t o s = π 6   -   i 2 r 2 5 2 π r 2 - π   6 - i   +   1 2 r 2 5 2 π r 2

P m a r c a n d o   e x a t a m e n t e   i   p o n t o s = ( 6   -   i ) ² - ( 5   -   i ) ² 5 2

Passo 2

Letra (b): Expandindo os quadrados na parte (a) encontramos:

P ( m a r c a n d o   e x a t a m e n t e   i   p o n t o s ) = 11 - 2 i 25

Que é decrescente em i.

Passo 3

Letra (c): Seja P ( i ) = 11 - 2 i 25 .

Como i ≤ 5, P(i) ≥ 0 para todo i.

Por definição, P(S) = P(atingir o alvo) = 1, que é a probabilidade total.

Por último, temos que:

P i   ∪   j =   á r e a   d o   c í r c u l o   i   +   á r e a   d o   c í r c u l o   j   =   P ( i )   +   P ( j )

Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!

Resposta

a) P m a r c a n d o   e x a t a m e n t e   i   p o n t o s = ( 6   -   i ) ² - ( 5   -   i ) ² 5 2

b) P ( m a r c a n d o   e x a t a m e n t e   i   p o n t o s ) = 11 - 2 i 25 , que é decrescente em i.

c) P i   ∪   j =   á r e a   d o   c í r c u l o   i   +   á r e a   d o   c í r c u l o   j   =   P ( i )   +   P ( j )