O número de acidentes que uma pessoa sofre em um ano é uma variável aleatória de Poisson com média λ. Entretanto, suponha que o valor de λ mude de pessoa para pessoa, sendo igual a 2 em 60% da população e 3 nos 40% restantes. Se uma pessoa é escolhida aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ela sofra (a) 0 acidentes e (b) exatamente 3 acidentes em um ano? Qual é a probabilidade condicional de que ela sofra 3 acidentes em certo ano, dado que não tenha sofrido acidentes no ano anterior?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Vamos definir como X o número de acidente que uma pessoa tem em um dado ano, onde X é uma variável de Poisson com média λ. Considerando que:    

P λ = 2 = 60 % = 0,6   ,   P λ = 3 = 40 % = 0,4

Importante lembrar que a probabilidade de Poisson é dada por:

P ( X ) = λ X e - λ X !

(a) Determinando a probabilidade de zero acidentes:

P X = 0 = λ 0 e - λ 0 ! = e - λ

P X = 0 = P { X = 0 λ = 2 ) + P { X = 0 λ = 3 )  

P X = 0 = 0,6 e - 2 + 0,4 e - 3 ≅ 0,1011

Passo 2

(b) De modo semelhante vamos determinar a probabilidade de três acidentes:

P X = 3 = λ 3 e - λ 3 !

P X = 3 = P { X = 3 λ = 2 ) + P { X = 3 λ = 3 )

P { X = 3 }   =   0,6 2 3 e - 2 3 ! + 0,4 3 3 e - 3 3 !   ≅   0,1979

Agora, para que haja três acidentes com a condição que no ano anterior não houveram acidentes, temos que:

P X = 3 s e m   a c i d e n t e s   n o   a n o   a n t e r i o r   =   P { X = 3 , X = 0 } P { X = 0 }

P { X = 3 , X = 0 } P { X = 0 } = 0,6 2 3 e - 2 3 ! e - 2 + 0,4 3 3 e - 3 3 ! e - 3 0,6 e - 2 + 0,4 e - 3   ≅   0,189  

Resposta

(a) P X = 0 ≅ 0,1011

(b) P { X = 3 }     ≅   0,1979     e   P X = 3 s e m   a c i d e n t e s   n o   a n o   a n t e r i o r   ≅   0,189