O número de pessoas que entram em uma farmácia em certo horário é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ = 10. Calcule a probabilidade condicional de que no máximo 3 homens tenham entrado na farmácia dado que 10 mulheres entraram naquele momento. Que hipóteses você adotou?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos denotar o número de pessoas que entram em uma farmácia em determinada hora como X

A função densidade de probabilidade de distribuição de Poisson vai ser:

P x = e - λ p λ p i i !

Aqui assumiremos que as chances de homens e mulheres entrarem na loja são iguais, então:

p = 1 2

Jogando na fórmula da densidade:

P x = e - 5 5 i i !

Passo 2

Show, agora partiu calcular galera! Vamos achar a probabilidade condicional de que no máximo 3 homens tenham entrado na drogaria, dado que 10 mulheres entraram naquela hora:

P X ≤ 3 M | X = 10 W = P ≤ 3 M ∩ 10 W P 10 W

Vamos calcular em partes. Primeiro vamos atrás de P(10W):

P X = 10 W = e - 5 5 i i ! = e - 5 5 10 10 !

Passo 3

Beleza, agora vamos atrás do restante:

P X ≤ 3 M | X = 10 W = P ≤ 3 M ∩ 10 W P 10 W

P X ≤ 3 M | X = 10 W = P 0 M , 10 W + P 1 M , 10 W + P 2 M , 10 W + P 3 M , 10 W

Beleza, fazendo as contas usando a fórmula do enunciado:

P x = e - 5 5 i i !

P X ≤ 3 M | X = 10 W = e - 5 5 10 10 ! × e - 5 ( 5 ) 0 0 ! + ( 5 ) 1 1 ! + ( 5 ) 2 2 ! + ( 5 ) 3 3 !

Fazendo todas as contas

P X ≤ 3 M | X = 10 W = 0,2650

Resposta

P X ≤ 3 M | X = 10 W = 0,2650