Um ônibus viaja entre as cidades A e B, que estão 100 km uma da outra. Se o ônibus estragar, a distância da pane até a cidade A tem distribuição uniforme ao longo do intervalo (0,100). Há oficinas na cidade A, na cidade B e no meio da estrada entre A e B. Sugere-se que seria mais eficiente ter três oficinas localizadas em distâncias de 25, 50 e 75 km, respectivamente, a partir de A. Você concorda com isso? Por quê?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Distribuição uniforme, essa é a palavra mágica que vai nos guiar para a resposta deste problema, a primeira informação que podemos inferir disso é que a probabilidade será proporcional ao tamanho do intervalo dessa mesma distribuição, mas, como todo problema de probabilidade, vamos nos atentar em todo o contexto de informações, então, vamos lá

É nos dado que a distância entre duas cidades ( A   e   B ) e é de 100 quilômetros. Viagens de ônibus da cidade A para cidade B , se o ônibus tem uma quebra, então ele tem uma distribuição uniforme em ( 0,100 ) . Seja x o local da avaria, vamos separar em dois casos

Passo 2

Caso 1: Existem estações de serviço em A   e   B , e no centro C , (digamos) que fica a 50

quilômetros de ambas as cidades. Vamos denotar a distância de reboque por Y neste caso. Então nós temos

f Y x = x ,     x ≤ 25 50 - x ,     25 ≤ x ≤ 50 x - 50 ,     50 < x ≤ 75 100 - x ,     75 < x ≤ 100

Agora, o negócio fica bem um trabalho braçal uma vez que a esperança vai pegar todos esses intervalos, mas isso não é nada para gente, então vamos enfrentar esse monstrinho!

E Y x = 1 100 ∫ 0 25 x   d x + ∫ 25 50 50 - x   d x + ∫ 50 75 x - 50   d x + ∫ 75 100 100 - x   d x

Essas integrais são bem simples, já que são do tipo polinomial, então vamos lá

E Y x = 1 100 x 2 2 0 25 + 50 x - x 2 2 25 50 + x 2 2 - 50 x 50 75 + 100 x - x 2 2 75 100

Substituindo os valores, nós temos

E Y x = 1 100 625 5 + 2500 - 2500 2 - 1250 + 625 5 + 5625 2 - 3750 - 2500 2 + 2500 + 10000 - 10000 2 - 7500 + 5625 2

Simplificando um monte de termo, nós obtemos o seguinte resultado

E Y x = 1 100 2500 - 2500 2 = 12,5  

Passo 3

Se as condições para o caso 1 geravam um monstrinho, no caso elas já geram um monstro mesmo (rsrs!), mas nada como um belo trabalho braçal de caneta que não possa resolver 😊

Caso 2: Há três estações de serviço de ônibus em C , 25 quilômetros de A , D , 50 quilômetros

de A e E , 75 quilômetros de A . Vamos denotar a distância de reboque neste caso. Então nós temos

f Z x = 25 - x ,     x ≤ 25 x - 25 ,     25 < x ≤ 37,5 50 - x ,     37,5 < x ≤ 50 x - 50 ,     50 < x ≤ 62,5 75 - x ,     62,5 < x ≤ 75 x - 75 ,     75 < x < 100

Portanto, a distância de reboque esperada neste caso é

E Z x = 1 100 ∫ 0 25 25 - x   d x + ∫ 25 37,5 x - 25   d x + ∫ 37,5 50 50 - x   d x + ∫ 50 62,5 x - 50   d x + ∫ 62,5 75 75 - x   d x + ∫ 75   100 x - 75   d x

Integrais simples de resolver, entretanto, a conta dará algo gigantesco, então vamos resumir a informação

E Z x = 1 100 937,5 = 9,375

Claramente, a distância média de reboque é menor no caso 2. Daí isso é mais eficiente.

Resposta

S i m ,   t e r   p o s t o s   a   25 ,   50   e   75   q u i l ô m e t r o s   d e   d i s t â n c i a   é   m a i s   e f i c i e n t e .