Um ônibus viaja entre as cidades A e B, que estão 100 km uma da outra. Se o ônibus estragar, a distância da pane até a cidade A tem distribuição uniforme ao longo do intervalo (0,100). Há oficinas na cidade A, na cidade B e no meio da estrada entre A e B. Sugere-se que seria mais eficiente ter três oficinas localizadas em distâncias de 25, 50 e 75 km, respectivamente, a partir de A. Você concorda com isso? Por quê?
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Distribuição uniforme, essa é a palavra mágica que vai nos guiar para a resposta deste problema, a primeira informação que podemos inferir disso é que a probabilidade será proporcional ao tamanho do intervalo dessa mesma distribuição, mas, como todo problema de probabilidade, vamos nos atentar em todo o contexto de informações, então, vamos lá
É nos dado que a distância entre duas cidades e é de 100 quilômetros. Viagens de ônibus da cidade para cidade , se o ônibus tem uma quebra, então ele tem uma distribuição uniforme em . Seja o local da avaria, vamos separar em dois casos
Passo 2
Caso 1: Existem estações de serviço em , e no centro , (digamos) que fica a 50
quilômetros de ambas as cidades. Vamos denotar a distância de reboque por neste caso. Então nós temos
Agora, o negócio fica bem um trabalho braçal uma vez que a esperança vai pegar todos esses intervalos, mas isso não é nada para gente, então vamos enfrentar esse monstrinho!
Essas integrais são bem simples, já que são do tipo polinomial, então vamos lá
Substituindo os valores, nós temos
Simplificando um monte de termo, nós obtemos o seguinte resultado
Passo 3
Se as condições para o caso 1 geravam um monstrinho, no caso elas já geram um monstro mesmo (rsrs!), mas nada como um belo trabalho braçal de caneta que não possa resolver 😊
Caso 2: Há três estações de serviço de ônibus em , 25 quilômetros de , , 50 quilômetros
de e , 75 quilômetros de . Vamos denotar a distância de reboque neste caso. Então nós temos
Portanto, a distância de reboque esperada neste caso é
Integrais simples de resolver, entretanto, a conta dará algo gigantesco, então vamos resumir a informação
Claramente, a distância média de reboque é menor no caso 2. Daí isso é mais eficiente.